无穷乘积

作者: Obj_Arr | 来源:发表于2022-09-13 19:25 被阅读0次

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问题是最好的老师，解析函数的无穷乘积展开，是另一种奇妙的函数分解方法。幂级数接触的很多了，表现为无穷求和形式，而无穷乘积就不常见了，一般的教材中也不会专门讲。
还是回到解析函数的本质上来，解析函数本质上就是无穷次多项式，也就是幂级数，幂级数就是有限次多项式推广到无穷次的结果，多项式除了展开为求和式外，还可以根据零点展开，也就是因式乘积，推广到无穷次多项式就是无穷乘积。
说白了，无穷乘积就是函数零点因式的乘积，所以只要求得函数的所有零点，自然就可以展开为无穷乘积。
比如三角函数 ${sin(x)}$ ，他的零点就是 ${0,\pm k\pi,k=1,2,\cdots}$ ，这些零点都是一次的，于是对应的零点因式就是 ${x,x\pm k\pi,k=1,2,\cdots}$ 。对应的无穷乘积就是：
${sin(x)=x(x+\pi)(x-\pi)(x+2\pi)(x-2\pi)\cdots\\=x(x^2-\pi^2)(x^2-4\pi^2)\cdots\\=x\prod_{k=1}^{\infty}(x^2-k^2\pi^2)}$
似乎有些问题，结果是发散的，所以需要改变一下形式，无穷乘积要求乘积项趋近于1，这样一般可以收敛，所以，需要改正为：
${sin(x)=x(1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{2\pi})\cdots\\=x(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})\cdots\\=x\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2})}$
有了这个公式，其他的三角函数展开就容易了。这个推导并不严格，严格推导需要考虑收敛性，误差等东西，那就太复杂了。
无穷乘积的好处就在于处理解析函数相乘的时候，如果使用泰勒公式，非常难算，换做无穷乘积就很自然。只不过无穷乘积一般不学，所以相关的题目也不多。
记住这两点就行了，泰勒公式是解析函数的逐次展开，无穷乘积是解析函数的根因式展开。