“PCA 通过 SVD 分解替代协方差矩阵的特征值分解” 是什么意思？
在周志华的《机器学习》第 10 章介绍“主成分分析”一节中，有这样一句批注：
实践中常通过对
进行奇异值分解来替代协方差矩阵的特征值分解。
下面就解释一下这句话的意思。我们复习一下，将任意形状的矩阵 是如何进行 SVD 分解的：
这里 是
的特征向量按照列排成的矩阵（按照
的特征值从大到小对应排列），而
是
的特征向量按照列排成的矩阵（按照
的特征值从大到小对应排列）。我们的 PCA 就是要对
的协方差矩阵
做特征值分解，即要求的是矩阵
，SVD 一下子就可以求得
。
我们再想想 ，PCA 求出的 只是坐标旋转以后的新线性空间的标准正交基，降维还得做线性变换，即用矩阵
右乘，得
。由
，直接可以得到
，即新线性空间的坐标。而 SVD 的经典算法有 Golub-Kahan 算法、分治法、Jacobi 法几种，这些算法其实都比较快，在一些软件底层的实现中，采用的是上述方法中的一种。因此，我们想要的是
，经典算法帮我们快速算出了
，因此就没有必要先算
，再对其做特征值分解了。这其实就是书上这句批注的意思。
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