接地气的解答题
2011年新课标全国卷题24（13分）
甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变，在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍； 在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
2011年全国大纲卷题24（15分）
如图，两根足够长的金属导轨、
竖直放置，导轨间距离为
，电阻不计。在导轨上端并接两个额定功率均为
、电阻均为
的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为
、电阻可以忽略的金属棒
从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为
。求：
（1）磁感应强度的大小。
（2）灯泡正常发光时导体棒的运动速率。
2012年全国卷题24（14分）
拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）. 设拖把头的质量为 ，拖杆质量可忽略; 拖把头与地板之间拖把头的动摩擦因数为常数
，重力加速度为
. 某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为
.
（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小.
（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为 . 已知存在一临界角
，若
，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动. 求这一临界角的正切
.
2012年全国大纲卷题24（16分）
如图，一平行板电容器的两个极板竖直放置，在两极板间有一带电小球，小球用一绝缘轻线悬挂于 点。现给电容器缓慢充电，使两极板所带电荷量分别为
和
，此时悬线与竖直方向的夹角为
π。再给电容器缓慢充电，直到悬线和竖直方向的夹角增加到
，且小球与两极板不接触。求第二次充电使电容器正极板增加的电荷量。
2013大纲卷题24（15分）
一客运列车匀速行驶，其车轮在铁轨间的接缝处会产生周期性的撞击。坐在该客车中的某旅客测得从第 次到第
次撞击声之间的时间间隔为
。在相邻的平行车道上有一列货车，当该旅客经过货车车尾时，货车恰好从静止开始以恒定加速度沿客车行进方向运动。该旅客在此后的
内，看到恰好有
节货车车厢被他连续超过。已知每根铁轨的长度为
，每节货车车厢的长度为
，货车车厢间距忽略不计。求∶
（1）客车运行速度的大小;
（2）货车运行加速度的大小。
2013年全国卷一题24（13 分）
水平桌面上有两个玩具车 和
，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记
。在初始时橡皮筋处于拉直状态，
、
和
分别位于直角坐标系中的
、
和
点。已知A从静止开始沿
轴正向做加速度大小为
的匀加速运动;
平行于
轴朝
轴正向匀速运动。在两车此后运动的过程中，标记
在某时刻通过点
。假定橡皮筋的伸长是均匀的，求
运动速度的大小。
2013年全国卷二题24（14分）
如图，匀强电场中有一半径为 的光滑绝缘圆园轨道，轨道平面与电场方向平行.
、
为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行，一电荷量为
的质点沿轨道内侧运动，经过
点和
点时对轨道压力的大小分别为
和
. 不计重力，求电场强度的大小
、质点经过
点和
点时的动能.
2014年海南卷题13
短跑运动员完成 赛跑的过程可简化为匀加速运动和匀速运动两个阶段。 一次比赛中，某运动员用
跑完全程。已知运动员在加速阶段的第
内通过的距离为
，求该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离。
2014年全国卷一题24（12分）
公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离。当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为 。 当汽车在晴天干燥沥青路面上以
的速度匀速行驶时，安全距离为
。设雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因数为晴天时的
，若要求安全距离仍为
，求汽车在雨天安全行驶的最大速度。
2014年全国卷二题24（13分）
2012 年 10 月，奥地利极限运动员菲利克斯·鲍姆加特纳乘气球升至约 的高空后跳下，经过 4 分 20 秒到达距地面约
高度处，打开降落伞并成功落地，打破了跳伞运动的多项世界纪录。取重力加速度的大小
。
（1）若忽略空气阻力，求该运动员从静止开始下落至 高度处所需的时间及其在此处速度的大小；
（2）实际上，物体在空气中运动时会受到空气的阻力，高速运动时所受阻力的大小可近似表示为 ，其中
为速率，
为阻力系数，其数值与物体的形状、横截面积及空气密度有关。已知该运动员在某段时间内高速下落的
图象如图所示。若该运动员和所带装备的总质量
，试估算该运动员在达到最大速度时所受阻力的阻力系数。（结果保留 1 位有效数字）
2015年全国卷一题24
如图，一长为 的金属棒
用两个完全相同的弹簧水平地悬挂在匀强磁场中；磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直于纸面向里；弹簧上端固定，下端与金属棒绝缘，金属棒通过开关与一电动势为
的电池相连，电路总电阻为
。已知开关断开时两弹簧的伸长量均为
；闭合开关，系统重新平衡后，两弹簧的伸长量与开关断开时相比均改变了
，重力加速度大小取
。判断开关闭合后金属棒所受安培力的方向，并求出金属棒的质量。
2015年全国卷一题24
2015年全国卷二题24（12分）
如图，一质量为 、电荷量为
的粒子在匀强电场中运动，
为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在
点的速度大小为
，方向与电场方向的夹角为
；它运动到
点时速度方向与电场方向的夹角为
。不计重力。求
两点间的电势差。
2015年全国卷二题24
2014年海南卷题14
如图，在 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为
，方向垂直于纸面向外； 在
轴下方存在匀强电场，电场方向与
平面平行，且与
轴成
夹角。一质量为
、电荷量为
的粒子以初速度
从
轴上的
点沿
轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反;又经过一段时间
，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变，不计重力。
（1）求粒子从 点出发至第一次到达
轴时所需时间;
（2）若要使粒子能够回到 点，求电场强度的最大值。
2014年海南卷题14
2015年海南卷题13
如图，两平行金属导轨位于同一水平面上，相距，左端与一电阻
相连；整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为
，方向竖直向下。一质量为
的导体棒置于导轨上，在水平外力作用下沿导轨以速度
匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为
，重力加速度大小为
，导轨和导体棒的电阻均可忽略。求
（1）电阻消耗的功率；
（2）水平外力的大小。
2016年全国卷二题24（12分）
如图，水平面(纸面)内间距为 的平行金属导轨间接一电阻，质量为
、长度为
的金属杆置于导轨上。
时，金属杆在水平向右、大小为
的恒定拉力作用下由静止开始运动，
时刻，金属杆进入磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为
。重力加速度大小为
。求：
（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
（2）电阻的阻值。
2016年全国卷三题24（12分）
如图，在竖直平面内有由 圆弧
和
圆弧
组成的光滑固定轨道，两者在最低点
平滑连接.
弧的半径为
，
弧的半径为
. 一小球在
点正上方与
相距
处由静止开始自由下落，经
点沿圆弧轨道运动.
（1）求小球在 、
两点的动能之比;
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到 点.
2017年全国卷三题24（12分）
如图，空间存在方向垂直于纸面（平面）向里的磁场。在
区域，磁感应强度的大小为
;
区域，磁感应强度的大小为
。（常数
）。一质量为
、电荷量为
的带电粒子以速度
从坐标原点
沿
轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿
轴正向时，求（不计重力）
（1）粒子运动的时间;
（2）粒子与 点间的距离。
2017年全国卷三题24
2018年全国卷一题24（12分）
一质量为 的烟花弹获得动能
后，从地面竖直升空。当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为
，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为
，不计空气阻力和火药的质量。求
（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；
（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。
2018年全国卷二题24（12分）
汽车 A 在水平冰雪路面上行驶。驾驶员发现其正前方停有汽车 B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车 B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后 B 车向前滑动了 ，A 车向前滑动了
。已知 A 和 B 的质量分别为
和
，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为
，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小
。求
（1）碰撞后的瞬间 B 车速度的大小；
（2）碰撞前的瞬间 A 车速度的大小。
2018年全国卷三题24（12分）
如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压 加速后在纸面内水平向右运动，自
点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为
，并在磁场边界的
点射出；乙种离子在
的中点射出；
长为
。不计重力影响和离子间的相互作用。求
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
2019年全国卷一题24（12分）
如图，在直角三角形 区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压
加速后、沿平行于
轴的方向射入磁场; 一段时间后，该粒子在
边上某点以垂直于
轴的方向射出。已知
点为坐标原点，
点在
轴上，
与
轴的夹角为
，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为
，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷;
（2）带电粒子从射入磁场到运动至 轴的时间。
2019年全国卷一题24
2019年全国卷二题24（12分）
如图，两金属板 水平放置，间距为
。两金属板正中间有一水平放置的金属网
，
的尺寸相同。
接地，
的电势均为
。质量为
、电荷量为
的粒子自
的左端上方距离
为
的位置，以速度
平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从 的下方距离
也为
的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
2019年全国卷三题24（12分）
空间存在一方向竖直向下的匀强电场， 是电场中的两点。从
点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为
的小球
。
不带电，
的电荷量为
。
从
点发射时的速度大小为
，到达
点所用时间为
；
从
点到达
点所用时间为
。重力加速度为
，求
（1）电场强度的大小；
（2） 运动到
点时的动能。
2020年全国卷一题24（12分）
我国自主研制了运-20 重型运输机。飞机获得的升力大小 可用
描写，
为系数；
是飞机在平直跑道上的滑行速度，
与飞机所受重力相等时的
称为飞机的起飞离地速度。已知飞机质量为
时，起飞离地速度为
；装载货物后质量为
，装载货物前后起飞离地时的
值可视为不变。
（1）求飞机装载货物后的起飞离地速度；
（2）若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行 起飞离地，求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。
2020年全国卷二题24（12分）
如图，在 ,
区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度
的大小可调，方向不变。一质量为
、电荷量为
的粒子以速度
从磁场区域左沿
轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值
;
（2）如果磁感应强度大小为 ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与
轴正方向的夹角及该点到
轴的距离。
2020年全国卷B题24
2020年全国卷二题24（12分）
如图，在 区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度
的大小可调，方向不变。一质量为
、电荷量为
的粒子以速度
从磁场区域左侧沿
轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值
；
（2）如果磁感应强度大小为 ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与
轴正方向的夹角及该点到
轴的距离。
2020年全国卷三题24（12分）
如图，一边长为 的正方形金属框
固定在水平面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为
的匀强磁场。一长度大于
的均匀导体棒以速率
自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与
垂直且中点位于
上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为
，金属框电阻可忽略。将导体棒与
点之间的距离记为
，求导体棒所受安培力的大小随
变化的关系式。
2020年全国卷三题24
2021年全国甲卷题24（12分）
如图，一倾角为 的光滑斜面上有
个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为
，减速带的宽度远小于
；一质量为
的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带
处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第
个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第
个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离
后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为
，重力加速度大小为
。
（1）求小车通过第 个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
（2）求小车通过前 个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
（3）若小车在前 个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则
应满足什么条件？
2021年全国乙卷题24（12分）
一篮球质量为 ，一运动员使其从距地面高度为
处由静止自由落下，反弹高度为
。若使篮球从距地面
的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的高度也为
。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为
；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取
，不计空气阻力。求
（1）运动员拍球过程中对篮球所做的功；
（2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小。
2022年全国甲卷题24（12分）
将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔 发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了
个影像，所标出的两个线段的长度
和
之比为
。重力加速度大小取
，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
2022年全国乙卷题24
如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为 的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为
; 在
到
时间内，磁感应强度大小随时间
的变化关系为
。求
（1） 时金属框所受安培力的大小；
（2）在 到
时间内金属框产生的焦耳热。
较高难度的解答题
2011年全国大纲卷题25（19分）
如图，与水平面成 角的平面
将空间分成Ⅰ和Ⅱ 两个区域。一质量为
、电荷量为
的粒子以速度
从平面
上的
点水平向右射入Ⅰ区。粒子在Ⅰ区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为
; 在Ⅱ区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为
，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点
的距离。粒子的重力可以忽略。
2011年大纲卷题25
2011年全国大纲卷题26（20分）
装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击。通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因。质量为 、厚度为
的钢板静止在水平光滑桌面上。质量为
的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿。现把钢板分成厚度均为
、质量均为
的相同两块，间隔一段距离平行放置，如图所示。若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞。不计重力影响。
2011年全国卷题25（19 分）
如图，在区域 Ⅰ 和区域 Ⅱ
内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为
和
，方向相反，且都垂直于
平面。一质量为
、带电荷量
的粒子
于某时刻从
轴上的
点射入区域 Ⅰ ，其速度方向沿
轴正向。已知
在离开区域 Ⅰ 时，速度方向与
轴正向的夹角为
；此时，另一质量和电荷量均与
相同的粒子
也从
点沿
轴正向射入区域 Ⅰ ，其速度大小是
的
。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求
（1）粒子射入区域 Ⅰ 时速度的大小;
（2）当 离开区域 Ⅱ 时，
、
两粒子的
坐标之差。
2011年全国卷题25
2012年全国卷题25（18 分）
如图，一半径为 的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为
、电荷量为
的粒子沿图中直线在圆上的
点射入柱形区域，在圆上的
点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心
到直线的距离为
。现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在
点射入柱形区域，也在
点离开该区域。若磁感应强度大小为
，不计重力，求电场强度的大小。
2012年全国卷题25
2012年全国大纲卷题25（19分）
一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为 。设地球的半径为
。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度
。
2012年全国大纲卷题26 （20分）
一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度 沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的
点为原点建立坐标系
。已知，山沟竖直一侧的高度为
，坡面的抛物线方程为
；探险队员的质量为
。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为
。
（1）求此人落到坡面时的动能；
（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
2013年全国卷一题25（19分）
如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为 ，间距为
。导轨上端接有一平行板电容器，电容为
。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为
，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为
的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为
，重力加速度大小为
。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。
2013全国卷二题25（18分）
一长木板在水平地面上运动，在 时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度－时间图像如图所示。己知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小
，求：
（1）物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数；(7分)
（2）从 时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小。(11分)
2014年全国卷一题25（20分）
如图，为同一竖直平面内的三个点，
沿竖直方向，
. 将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出， 小球在运动过程中恰好通过A点. 使此小球带电，电荷量为q（ q>0 ），同时加一匀强电场，场强方向与
所在平面平行. 现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球.该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍. 重力加速度大小为g. 求∶
（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；
（2）电场强度的大小和方向.
2014年全国卷二题25（19 分）
半径分别为 和
的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为
、质量为
且质量分布均匀的直导体棒
置于圆导轨上面，
的延长线通过圆导轨中心
，装置的俯视图如图所示。整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为
，方向竖直向下。在内圆导轨的
点和外圆导轨的
点之间接有一阻值为
的电阻（图中未画出）。直导体棒在水平外力作用下以角速度
绕
逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为
，导体棒和导轨的电阻均可忽略。重力加速度大小为
。求∶
2014年全国卷二25.png
（1）通过电阻 的感应电流的方向和大小;
（2）外力的功率。
2015年全国卷一题25（20分）
一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为 ，如图
所示。
时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至
时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后
时间内小物块的
图线如图
所示。木板的质量是小物块质量的
倍，重力加速度大小
取
。求：
（1）木板与地面间的动摩擦因数 及小物块与木板间的动摩擦因数
；
（2）木板的最小长度；
（3）木板右端离墙壁的最终距离。
2015年全国卷二题25
下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。某地有一倾角为 的山坡
，上面有一质量为
的石板
，其上下表面与斜坡平行，
上有一碎石堆
（含有大量泥土），
和
均处于静止状态，如图所示，假设某次暴雨中，
浸透雨水后总质量也为
（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，
、
间的动摩擦因数
减小为
、
间的动摩擦因数
减小为
，
、
开始运动。此时刻为计时起点；在第
末，
的上表面突然变为光滑，
保持不变。已知
开始运动时，
离
下边缘的距离
，
足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小为
。求：
（1）在 时间内
和
的加速度的大小；
（2） 在
上总的运动时间。
2016年全国卷二题25（20 分）
轻质弹簧原长为 ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为
的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为
。现将该弹簧水平放置，一端固定在
点，另一端与物块
接触但不连接。
是长度为
的水平轨道，
端与半径为
的光滑半圆轨道
相切，半圆的直径
竖直，如图所示。物块
与
间的动摩擦因数
。用外力推动物块
，将弹簧压缩至长度
，然后放开，
开始沿轨道运动。重力加速度大小为
。
（1）若 的质量为
，求
到达
点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到
上的位置与
点之间的距离;
（2）若 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求
的质量的取值范围。
2016年全国卷一题25（18分）
如图，一轻弹簧原长为 ，其一端固定在倾角为
的固定直轨道
的底端
处，另一端位于直轨道上
处，弹簧处于自然状态。直轨道与一半径为
的光滑圆弧轨道相切于
点，
，
、
、
、
均在同一竖直平面内。质量为
的小物块
自
点由静止开始下滑，最低到达
点（未画出）。随后
沿轨道被弹回，最高到达
点，
。已知
与直轨道间的动摩因数
，重力加速度大小为
。（取
）
（1）求 第一次运动到
点时速度的大小。
（2）求 运动到
点时弹簧的弹性势能。
（3）改变物块 的质量，将
推至
点，从静止开始释放。已知
自圆弧轨道的最高点
处水平飞出后，恰好通过
点。
点在
点左下方，与
点水平相距
、竖直相距
。求
运动到
点时速度的大小和改变后
的质量。
2016年全国卷三题25（20 分）
如图，两条相距的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接一阻值为
的电阻;一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上;在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为
的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小
， 随时间
的变化关系为
，式中
为常量;在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界
（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为
，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在
时刻恰好以速度
越过
，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求∶
（1）在到
时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值;
（2）在时刻 穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。
2016年海南卷题14
如图， 两点分别位于
轴和
轴上，
，
的长度为
. 在
区域内有垂直于
平面向里的匀强磁场. 质量为
、电荷量为
的带正电粒子，以平行于
轴的方向从
边射入磁场. 已知粒子从某点入射时，恰好垂直于
边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为
. 不计重力.
（1）求磁场的磁感应强度的大小;
（2）若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和;
（3）若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与边相切，且在磁场内运动的时间为
，求粒子此次入射速度的大小。
2016年海南卷题14
2017年全国卷二题25（20分）
如图，两水平面（虚线）之间的距离为 ，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的
点将质量均为
、电荷量分别为
和
的带电小球
、
先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知
离开电场时的速度方向竖直向下；
在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为
刚离开电场时动能的
倍。不计空气阻力，重力加速度大小为
。求
2017年全国卷二题17
（1） 与
在电场中沿水平方向的位移之比;
（2） 点距电场上边界的高度;
（3）该电场的电场强度大小。
2017年全国卷三题25（20分）
如图，两个滑块 和
的质量分别为
和
，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为
；木板的质量为
，与地面间的动摩擦因数为
。某时刻
、
两滑块开始相向滑动，初速度大小均为
。
、
相遇时，
与木板恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小
。求
（1） 与木板相对静止时，木板的速度；
（2）、
开始运动时，两者之间的距离。
2018年全国卷一题25（20分）
如图，在 的区域存在方向沿
轴负方向的匀强电场，场强大小为
；在
的区域存在方向垂直于
平面向外的匀强磁场。一个氕核
和一个氘核
先后从
轴上
点以相同的动能射出，速度方向沿
轴正方向。已知
进入磁场时，速度方向与
轴正方向的夹角为
，并从坐标原点
处第一次射出磁场。
的质量为
，电荷量为
。不计重力。求
（1） 第一次进入磁场的位置到原点
的距离;
（2）磁场的磁感应强度大小;
（3） 第一次离开磁场的位置到原点
的距离。
2018年全国卷一题25
2018年全国卷二题25（20 分）
一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在 平面内的截面如图所示∶中间是磁场区域，其边界与
轴垂直，宽度为
，磁感应强度的大小为
，方向垂直于
平面;磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为
，电场强度的大小均为
，方向均沿
轴正方向；
、
为条状区域边界上的两点，它们的连线与
轴平行。一带正电的粒子以某一速度从
点沿
轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从
点入射的速度从
点沿
轴正方向射出。不计重力。
（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹;
（2）求该粒子从 点入射时速度的大小;
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与轴正方向的夹角为 ，求该粒子的比荷及其从
点运动到
点的时间。
2018年全国卷二题25
2018年全国卷三题25（20分）
如图，在竖直平面内，一半径为 的光滑圆弧轨道
和水平轨道
在
点相切，
为圆弧轨道的直径，
为圆心，
和
之间的夹角为
，
。一质量为
的小球沿水平轨道向右运动，经
点沿圆弧轨道通过
点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在
点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为
。求
（1）水平恒力的大小和小球到达 点时速度的大小；
（2）小球到达 点时动量的大小；
（3）小球从 点落至水平轨道所用的时间。
2019年全国卷一题25（20分）
竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块 静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。
时刻，小物块
在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与
发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当
返回到倾斜轨道上的
点（图中未标出）时，速度减为
，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块
运动的
图像如图（b）所示，图中的
和
均为未知量。已知
的质量为
，初始时
与
的高度差为
，重力加速度大小为
，不计空气阻力。
（1）求物块 的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块 克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。在物块 停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将
从
点释放，一段时间后
刚好能与
再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。
2019年全国卷二题25（20分）
一质量为 的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方
处有一警示牌，立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的变化可简化为图（a）中的图线。图（a）中，
时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），
；
时间段为刹车系统的启动时间，
；从
时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止。已知从
时刻开始，汽车第
内的位移为
，第
内的位移为
。
（1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的 图线；
（2）求 时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
（3）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及 时间内汽车克服阻力做的功；从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以
时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？
2019年全国卷三题25（20分）
静止在水平地面上的两小物块 ，质量分别为
；两者之间有一被压缩的微型弹簧，
与其右侧的竖直墙壁距离
，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使
瞬间分离，两物块获得的动能之和为
。释放后，
沿着与墙壁垂直的方向向右运动。
与地面之间的动摩擦因数均为
。重力加速度取
。
运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间 速度的大小；
（2）物块 中的哪一个先停止？该物块刚停止时
与
之间的距离是多少？
（3） 和
都停止后，
与
之间的距离是多少？
2020年全国卷一题25（20分）
在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以 为圆心、半径为
的圆，
为圆的直径，如图所示。质量为
，电荷量为
的带电粒子在纸面内自
点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的
点以速率
穿出电场，
与
的夹角
。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为 ，该粒子进入电场时的速度应为多大？
2020年全国卷二题25（20分）
如图，一竖直圆管质量为 ，下端距水平地面的高度为
，顶端塞有一质量为
的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知
，球和管之间的滑动摩擦力大小为
，
为重力加速度的大小，不计空气阻力。
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。
2020年全国卷三题25（20分）
如图，相距 的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小
可以由驱动系统根据需要设定。质量
的载物箱（可视为质点），以初速度
自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数
，重力加速度取
。
（1）若 ，求载物箱通过传送带所需的时间；
（2）求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度；
（3）若 ，载物箱滑上传送带
后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。
2021年全国甲卷题25（20分）
如图，长度均为 的两块挡板竖直相对放置，间距也为
，两挡板上边缘
和
处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为
；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为
，电荷量为
的粒子自电场中某处以大小为
的速度水平向右发射，恰好从
点处射入磁场，从两挡板下边缘
和
之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与
的夹角为
，不计重力
（1）求粒子发射位置到 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板
的最近距离。
2021年全国乙卷题25（20分）
如图，一倾角为 的光滑固定斜面的顶端放有质量
的
型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻
的金属棒
的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路
；
与斜面底边平行，长度
。初始时
与
相距
，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离
后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的
边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小
，重力加速度大小取
，
。求
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
2022年全国甲卷题（20分）
光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中 为轻质绝缘弹簧，
为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；
为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆
的一端与
固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连，
为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，
的圆心位于
的中心。使用前需调零：使线圈内没有电流通过时，
竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经
上的
点射到
上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使
发生倾斜，入射光束在
上的入射点仍近似处于
的圆心，通过读取反射光射到
上的位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为
，磁场磁感应强度大小为
，线圈
的匝数为
、沿水平方向的长度为
，细杆
的长度为
，圆弧
的半径为
，
，
远大于弹簧长度改变量的绝对值。
（1）若在线圈中通入的微小电流为 ，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值
及
上反射光点与
点间的弧长
；
（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后， 上反射光点出现在
点上方，与
点间的弧长为
；保持其它条件不变，只将该电流反向接人，则反射光点出现在
点下方，与
点间的弧长为
。求待测电流的大小。
2022年全国乙卷题24（20分）
如图（a），一质量为 的物块
与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上；物块
向
运动，
时与弹簧接触，到
时与弹簧分离，第一次碰撞结束，
的
t图像如图（b）所示。已知从
到
时间内，物块
运动的距离为
。
分离后，
滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的
再次碰撞，之后
再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为
，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块 与斜面间的动摩擦因数。
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