高考数学全国卷：解析几何大题

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-01-07 09:08 被阅读0次

第1组：方程与曲线

收录大题 7个

方程与曲线：2014年文数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
已知点 $P(2,2)$ ，圆 $C:x^2 + y^2 -8y =0$ ，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A，B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点.
（I）求 $M$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）当 $|OP|=|OM|$ 时，求 $l$ 的方程及 $\triangle POM$ 的面积.

参考答案：2014年文数全国卷A题20

方程与曲线：2013年文科数学全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $P$ 在 $x$ 轴上截得线段长为 $\sqrt{2}$ ，在 $y$ 轴上截得线段长为 $\sqrt{3}$ .
（I）求圆心 $P$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）若 $P$ 点到直线 $y=x$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，求圆 $P$ 的方程.

参考答案：2013年文数全国卷B题20

方程与曲线：2014年理科数学湖北卷题21

21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 $1$ .记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（I）求轨迹 $C$ 的方程;
（Ⅱ）斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $P(-2,1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 $k$ 的相应取值范围.

参考答案：2014年理数湖北卷题21

方程与曲线：2009年文数全国卷题20

20.（本小题满分12分）
已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $xOy$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.

（I）求椭圆 $C$ 的方程;
（Ⅱ）若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点， $M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点， $\dfrac{|OP|}{|OM|}=e$ （ $e$ 为椭圆 C 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

参考答案：2009年文数全国卷题20

方程与曲线：2015年理数广东卷题20

20.（本小题满分14分）
已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1∶x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的两点 $A，B.$
（1）求圆 $C_1$ 的圆心坐标;
（2）求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程;
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L∶y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点? 若存在，求出 $k$ 的取值范围; 若不存在，说明理由.

参考答案：2015年理数广东卷题20

方程与曲线：2014年理科数学广东卷题20

20.（本小题满分14 分）

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$ ，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程;

（2）若动点 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆 $C$ 外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程.

参考答案：2014年理数广东卷题20

方程与曲线：1987年全国卷题21

定长为 $3$ 的线段 $AB$ 的两端点在抛物线 $y^2=x$ 上移动，记线段 $AB$ 的中点为 $M$ ，求点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离，并求此时点 $M$ 的坐标.

解法一：通解

解法二：换元法

解法三：参数方程

第2组：抛物线和圆

收录大题 6个

直线与圆：2015年文数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）

已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $(x-2)^2 + (y-3)^2=1$ 交于 $M，N$ 两点.

（I）求 $k$ 的取值范围;

（Ⅱ）若 $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=12$ ，其中 $O$ 为坐标原点，求 $|MN|$ .

参考答案：2015年文数全国卷A题20

抛物线和圆：2008年文科数学海南卷题20

20.（本小题满分12分）

已知 $m \in {R}$ ，直线 $l: mx-(m^2+1)y=4m$ 和圆 $C∶x^2+y^2-8x+4y＋16=0.$

（I）求直线 $l$ 斜率的取值范围;

（Ⅱ）直线 $l$ 能否将圆 $C$ 分割成弧长的比值为 $\dfrac{1}{2}$ 的两段圆弧？为什么？

参考答案：2008年文数海南卷题20

抛物线和圆：2017年文科数学全国卷C题20

20.（12分）

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^2+mx-2$ 与 $x$ 轴交于 $A，B$ 两点，点 $C$ 的坐标为 $(0,1)$ ，当 $m$ 变化时，解答下列问题∶

（1）能否出现 $AC \perp BC$ 的情况？说明理由；

（2）证明过 $A，B，C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值.

参考答案：2017年文数全国卷C题20

抛物线和圆：2017年理科数学全国卷C题20

20.（12分）

已知抛物线 $C:y^2=2x,$ 过点 $(2,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A，B$ 两点，圆 $M$ 是以线段 $AB$ 为直径的圆.

（1）证明∶坐标原点 $O$ 在圆 $M$ 上;

（2）设圆 $M$ 过点 $P(4,-2)$ ，求直线 $l$ 与圆 $M$ 的方程.

参考答案：2017年理数全国卷C题20

抛物线和圆：2011年文科数学全国卷题20

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^2-6x+1$ 与坐标轴的交点都在圆 $C$ 上.

（I）求圆 $C$ 的方程;

（Ⅱ）若圆 $C$ 与直线 $x-y+a=0$ 交于 $A，B$ 两点，且 $OA \perp OB$ ，求 $a$ 的值.

参考答案：2011年文科数学全国卷题20

抛物线：2016年文科数学全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l:y=t(t \ne 0)$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，交抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 于点 $P$ ， $M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$ ，连接 $ON$ 并延长交 $C$ 于点 $H$ .

（I）求 $\dfrac{|OH|}{|ON|}$ ;
（Ⅱ）除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与 $C$ 是否有其他公共点？说明理由.

参考答案：2016年文数全国卷A题20

第3组：椭圆

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椭圆：2010年文科数学全国卷题20

20.（本小题满分12分）

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E: x^2 + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (0 \lt b \lt 1 )$ ，的左、右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A，B$ 两点，且 $|AF_2|, |AB|, |BF_2|$ 成等差数列.

（1）求 $|AB|$ ;

（2）若直线 $l$ 的斜率为 $1$ ，求 $b$ 的值.

参考答案：2010年文数全国卷题20

椭圆：2010年理科数学全国卷题20

20.（本小题满分12分）

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，的左、右焦点，过 $F_1$ ，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A，B$ 两点，且 $|AF_2|，|AB|，|BF_2|$ 成等差数列.

（1）求 $E$ 的离心率;

（2）设点 $P(0,-1)$ 满足 $|PA|=|PB|,$ 求 $E$ 的方程.

参考答案：2010年理数全国卷题20

椭圆：2013年数学全国卷A题21（文理同题）

（21）（本小题满分12分）

已知圆 $M:(x+1)^2+y^2=1,$ 圆 $N:(x-1)^2+y^2=9,$ 动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程;

（Ⅱ） $l$ 是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线， $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $|AB|$ .

参考答案：2013年数学全国卷A题21

椭圆：2014年数学全国卷B题20（文理同题）

（20）（本小题满分12分）

设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，的左、右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $MF_2$ 与 $x$ 轴垂直. 直线 $MF_1$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N.$

（I）若直线 $MN$ 的斜率为 $\dfrac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率;

（Ⅱ）若直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ ，且 $|MN|=5|F_1N|$ ，求 $a，b$ .

参考答案：2014年数学全国卷B题20

椭圆：2020年全国卷C题20 (12分)

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1(0 \lt m \lt 5)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点.

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|BP|=|BQ|, BP \perp BQ$ ，求 $\triangle APQ$ 的面积。

参考答案：2020年全国卷C题20

第4组：弦长与面积

收录大题 6个

弦长和面积：2018年数学全国卷B题20（文理同题）

20.（12分）
设抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k \gt 0 )$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点， $|AB| =8$ .

（1）求 $l$ 的方程;
（2）求过点 $A,B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

参考答案：2018年数学全国卷B题20

弦长和面积：2014年理科数学全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
已知点 $A（0，-2）$ ，椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $AF$ 的斜率为 $\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求 $E$ 的方程;
（Ⅱ）设过点 $A$ 的动直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P，Q$ 两点.当 $\triangle OPQ$ 的面积最大时，求 $l$ 的方程.

参考答案：2014年理数全国卷A题20

弦长和面积：2013年理数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系 $xOy$ 中，过椭圆 $M: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 右焦点的直线 $x+y-3=0$ 交 $M$ 于 $A，B$ 两点， $P$ 为 $AB$ 的中点，且 $OP$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$

（I）求 $M$ 的方程;
（Ⅱ） $C，D$ 为 $M$ 上两点，若四边形 $ACBD$ 的对角线 $CD \perp AB$ ，求四边形 $ACBD$ 面积的最大值.

参考答案：2013年文数全国卷B题20

弦长和面积：2016年理数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
设圆 $x^2+y^2+2x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆 $A$ 于 $C,D$ 两点，过 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 于点 $E.$
（I）证明 $|EA|+|EB|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C_1$ ，直线 $l$ 交 $C_1$ 于 $M，N$ 两点，过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P，Q$ 两点，求四边形 $MPNQ$ 面积的取值范围.

参考答案：几何方法解答问题I ：数形结合，几何开路

参考答案：直角坐标系中解答问题Ⅱ

参考答案：极坐标方法解答问题Ⅱ

弦长和面积：2016年理科数学全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{t} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， $A$ 是 $E$ 的左顶点，斜率为 $k（k \gt 0）$ 的直线交 $E$ 于 $A，M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上， $MA \perp NA.$
（I）当 $t=4，|AM|=|AN|$ 时，求 $\triangle AMN$ 的面积;

（Ⅱ）当 $2|AM|=|AN|$ 时，求 $k$ 的取值范围.

弦长和面积：2016年数学全国卷C题20（文理同题）

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线 $C:y^2=2x$ 的焦点为 $F$ ，平行于 $x$ 轴的两条直线 $l_1,l_2$ 分别交 $C$ 于 $A，B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $P，Q$ 两点.

（I）若 $F$ 在线段 $AB$ 上， $R$ 是 $PQ$ 的中点，证明 $AR // FQ;$

（Ⅱ）若 $\triangle PQF$ 的面积是 $\triangle ABF$ 的面积的两倍，求 $AB$ 中点的轨迹方程.

第5组：两角相等

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两角相等~抛物线：2015年理数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 与直线 $l: y=kx+a（a \gt 0）$ 交于 $M，N$ 两点.

（I）当 $k=0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程;

（Ⅱ） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得当 $k$ 变动时，总有 $\angle OPM=\angle OPN$ ? 说明理由.

参考答案：2015年理数全国卷A题20

两角相等~抛物线：2018年文数全国卷A题20

20.（12分）设抛物线 $C:y^2=2x$ ，点 $A(2,0), B(-2,0)$ ，过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M，N$ 两点.

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $BM$ 的方程;

（2）证明∶ $\angle ABM = \angle ABN.$

参考答案：2018年文数全国卷A题20

两角相等~椭圆：2018年理数全国卷A题19

19.（12分）

设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A，B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ .

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $AM$ 的方程;

（2）设 $O$ 为坐标原点，证明∶ $\angle OMA = \angle OMB$ .

参考答案：2018年理数全国卷A题19

两角相等~椭圆：2015年理科数学北京卷题19

（19）（本小题14分）

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P(0,1)$ 和 $A(m,n)(m \ne 0)$ 都在椭圆 $C$ 上. 直线 $PA$ 交 $x$ 轴于点 $M$ .

（I）求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m,n$ 表示）;

（Ⅱ）设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $PB$ 交 $x$ 轴于点 $N$ .问∶ $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $\angle OQM= \angle ONQ$ ？若存在，求点 $Q$ 坐标;若不存在，说明理由.

参考答案：2015年理数北京卷题19

第6组：圆锥曲线的弦及其中点

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抛物线的弦：2017年文数全国卷A题20

20.（12分）

设 $A,B$ 为曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{4}$ 上两点， $A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 $4$ .

（1）求直线 $AB$ 的斜率;

（2）设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点， $C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $AB$ 平行，且 $AM \perp BM$ ，求直线 $AB$ 的方程.

参考答案：2017年文数全国卷A题20

椭圆的弦：2015年文数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(2,\sqrt{2})$ 在 $C$ 上.

（I）求 $C$ 的方程;

（Ⅱ）直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$ ，线段 $AB$ 的中点为 $M.$ 证明∶直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值.

参考答案：2015年文数全国卷B题20

椭圆的弦：2015年理数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆 $C:9x^2＋y^2=m^2（m \gt 0）$ ，直线 $l$ 不过原点O 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$ ，线段 $AB$ 的中点为 $M.$

（I）证明∶直线 $OM$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值;

（Ⅱ）若 $l$ 过点 $(\dfrac{m}{3},m)$ ，延长线段 $OM$ 与 $C$ 交于点 $P$ ，四边形 $OAPB$ 能否为平行四边形? 若能，求此时 $l$ 的斜率; 若不能，说明理由.

椭圆的弦：2018年文数全国卷C题20

20.（12分）

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m) (m \gt 0 )$ .

（1）证明∶ $k \lt - \dfrac{1}{2}$ ;

（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}$

证明∶ $2|\overrightarrow{FP}|=|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|$ .

椭圆的弦：2018年理数全国卷C题20

20.（12分）

已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m) (m \gt 0 )$ .

（1）证明∶ $k \lt - \dfrac{1}{2}$ ;

（2）设 $F$ 为 $C$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\vec{0}$

证明∶ $|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FP}|,|\overrightarrow{FB}|$ 成等差数列，并求该数列的公差.

抛物线的弦：2019年理科数学全国卷C题21（12分）

已知曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{2},D$ 为直线 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$ .

（1）证明：直线 $AB$ 过定点；

（2）若以 $E(0,\dfrac{5}{2})$ 为圆心的圆与直线 $AB$ 相切，且切点为线段 $AB$ 的中点，求四边形 $ADBE$ 的面积。

参考答案：2019年全国卷C题21

抛物线的弦：2019年理科数学全国卷A题19（12分）

已知抛物线 $C:y^2=3x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\dfrac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A,B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$ .

（1）若 $|AF|+|BF|=4$ ，求 $l$ 的方程；

（2）若 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$ ，求 $|AB|.$

参考答案：2019年理数全国卷A题19

第7组：向量与曲线

收录大题 5个

向量与曲线：2007年文科数学海南卷题19

19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $x^2+y^2-12x+32=0$ 的圆心为 $Q$ ，过点 $P(0,2)$ 且斜率为 $k$ 的直线与圆 $Q$ 相交于不同的两点 $A,B.$

（I）求 $k$ 的取值范围;

（Ⅱ）是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{PQ}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：2007年文数海南卷题19

向量与曲线：2007年理科数学海南卷题19

19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，经过点 $(0,\sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$ .

（I）求 $k$ 的取值范围;

（II）设椭圆与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $A,B$ ，是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：2007年理数海南卷题19

向量与曲线：2008年理数海南卷题20

20.（本小题满分12分）

在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ; $F_2$ 也是抛物线 $C_2:y^2=4x$ 的焦点，点 $M$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点，且 $|MF_2|=\dfrac{5}{3}$ .

（I）求 $C_1$ 的方程；

（Ⅱ）平面上的点 $N$ 满足 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}$ ，直线 $l// MN$ ，且与 $C_1$ 交于 $A,B$ 两点，若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$ ，求直线 $l$ 的方程.

参考答案：2008年理数海南卷题20

向量与曲线：2011年理科数学全国卷题20

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,-1)$ ， $B$ 点在直线 $y=-3$ 上， $M$ 点满足 $\overrightarrow{MB} // \overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{BA}$ ， $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ .

（I）求 $C$ 的方程；

（Ⅱ） $P$ 为 $C$ 上的动点， $l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处的切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.

参考答案：2011年理数全国卷题20

向量与曲线：2017年数学全国卷B题20（文理同题）

20.（12分）

设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2} + y^2=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{NP} = \sqrt{2} \overrightarrow{NM}$ .

（1）求点 $P$ 的轨迹方程;

（2）设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ} = 1$ . 证明∶过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$ .

参考答案：2017年数学全国卷B题20

第8组：定点问题

本组收录大题 2个

椭圆~定点问题：2017年理科数学全国卷A题20

20.（12分）

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ ，四点 $P_1(1,1), P_2(0,1), P_3(-1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}), P_4(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.

（1）求 $C$ 的方程;

（2）设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点且与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点. 若直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率的和为 $-1$ ，证明∶ $l$ 过定点.

参考答案：2017年理数A题20

椭圆：2020年全国卷A题20 (12分)

已知 $A,B$ 分别为椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 ( a \gt 1 )$ 的左、右顶点， $G$ 为 $E$ 的上顶点， $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}＝8$ . $P$ 为直线 $x＝6$ 上的动点， $PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$ ， $PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$ .
(1)求 $E$ 的方程；
(2)证明：直线 $CD$ 过定点。

参考答案：2020年理数全国卷A题20

第9组：圆锥曲线综合

本组收录大题 3个

抛物线和圆：2012年文科数学全国卷题20（文理同题）

（20）（本小题满分12分）
设抛物线 $C:x^2=2py(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $A$ 为C上一点，已知以 $F$ 为圆心， $FA$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B,D$ 两点.
（I）若 $\angle BFD=90°$ ， $\triangle ABD$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；
（Ⅱ）若 $A,B,F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m,n$ 距离的比值.

参考答案：2012年文数全国卷题20（文理同题）

四点共圆：2014年数学大纲卷题21（文理同题）

（21）（本小题满分12分）
已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，与 $C$ 的交点为 $Q$ ，且 $|QF|=\dfrac{5}{4} |PQ|$ .

（I）求 $C$ 的方程;
（Ⅱ）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $AB$ 的垂直平分线 $l'$ 与 $C$ 相交于 $M,N$ 两点，且 $A,M,B,N$ 四点在同一圆上，求 $l$ 的方程.

参考答案：2014年数学大纲卷题21

弦长和面积：2015年山东卷题20

（20）（本小题满分13分）
平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别是 $F_1,F_2$ .以 $F_1$ 为圆心，以 $3$ 为半径的圆与以 $F_2$ 为圆心，以 $1$ 为半径的圆相交，且交点在椭圆 $C$ 上.
（I）求椭圆 $C$ 的方程;
（Ⅱ）设椭圆 $E: \dfrac{x^2}{4a^2} + \dfrac{y^2}{4b^2} = 1$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点过. 点P的直线 $y=kx+m$ 交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点，射线 $PO$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ .
(i）求 $\dfrac{|OQ|}{|OP|}$ 的值;
（ii）求 $\triangle ABQ$ 面积的最大值.

高考数学全国卷：解析几何大题

第1组：方程与曲线

方程与曲线：2014年文数全国卷A题20

方程与曲线：2013年文科数学全国卷B题20

方程与曲线：2014年理科数学湖北卷题21

方程与曲线：2009年文数全国卷题20

方程与曲线：2015年理数广东卷题20

方程与曲线：2014年理科数学广东卷题20

方程与曲线：1987年全国卷题21

第2组：抛物线和圆

直线与圆：2015年文数全国卷A题20

抛物线和圆：2008年文科数学海南卷题20

抛物线和圆：2017年文科数学全国卷C题20

抛物线和圆：2017年理科数学全国卷C题20

抛物线和圆：2011年文科数学全国卷题20

抛物线：2016年文科数学全国卷A题20

第3组：椭圆

椭圆：2010年文科数学全国卷题20

椭圆：2010年理科数学全国卷题20

椭圆：2013年数学全国卷A题21（文理同题）

椭圆：2014年数学全国卷B题20（文理同题）

椭圆：2020年全国卷C题20 (12分)

第4组：弦长与面积

弦长和面积：2018年数学全国卷B题20（文理同题）

弦长和面积：2014年理科数学全国卷A题20

弦长和面积：2013年理数全国卷B题20

弦长和面积：2016年理数全国卷A题20

弦长和面积：2016年理科数学全国卷B题20

弦长和面积：2016年数学全国卷C题20（文理同题）

第5组：两角相等

两角相等~抛物线：2015年理数全国卷A题20

两角相等~抛物线：2018年文数全国卷A题20

两角相等~椭圆：2018年理数全国卷A题19

两角相等~椭圆：2015年理科数学北京卷题19

第6组：圆锥曲线的弦及其中点

抛物线的弦：2017年文数全国卷A题20

椭圆的弦：2015年文数全国卷B题20

椭圆的弦：2015年理数全国卷B题20

椭圆的弦：2018年文数全国卷C题20

椭圆的弦：2018年理数全国卷C题20

抛物线的弦：2019年理科数学全国卷C题21（12分）

抛物线的弦：2019年理科数学全国卷A题19（12分）

第7组：向量与曲线

向量与曲线：2007年文科数学海南卷题19

向量与曲线：2007年理科数学海南卷题19

向量与曲线：2008年理数海南卷题20

向量与曲线：2011年理科数学全国卷题20

向量与曲线：2017年数学全国卷B题20（文理同题）

第8组：定点问题

椭圆~定点问题：2017年理科数学全国卷A题20

椭圆：2020年全国卷A题20 (12分)

第9组：圆锥曲线综合

抛物线和圆：2012年文科数学全国卷题20（文理同题）

四点共圆：2014年数学大纲卷题21（文理同题）

弦长和面积：2015年山东卷题20

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