一题思考-（12月23日）

作者: 吴理数 | 来源:发表于2023-12-22 14:53 被阅读0次

本题求最值，其实是阿氏圆问题。

先对结论变形，提取 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2} PC+\sqrt{5} PO=\sqrt{2} (PC+\frac{\sqrt{10} }{2} PO）$ ，所以，只要求出 $PC+\frac{\sqrt{10} }{2} PO$ 的最小值就可。这就是阿氏圆的模型。

如何出现相似比是 $\frac{\sqrt{10} }{2}$ 呢？其实就是 $\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{2} }$ 。

再回到题目，由已知条件可知，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D，（1，1），OD= $\sqrt{2}$ ， $DP=\sqrt{5}$ ，所以， $\frac{DO}{DP} =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{5} }$ ，不妨延长DO至E，使得 $\frac{DE}{DP} =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{5} }$ ，也就是 $DE=\frac{5\sqrt{2} }{2}$ ，则E（ $-\frac{3}{2}$ ， $-\frac{3}{2}$ ），∴ $\frac{OP}{OD} =\frac{DE}{DP} =\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{10} }{2}$ ，∴DOP∽DPE，∴ $PE=\frac{\sqrt{10} }{2} PO$ ，当P，C，E三点共线时可以求出最小值。