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一题思考-(12月23日)

一题思考-(12月23日)

作者: 吴理数 | 来源:发表于2023-12-22 14:53 被阅读0次

本题求最值,其实是阿氏圆问题。

先对结论变形,提取\sqrt{2} \sqrt{2} PC+\sqrt{5} PO=\sqrt{2} (PC+\frac{\sqrt{10} }{2} PO),所以,只要求出PC+\frac{\sqrt{10} }{2} PO的最小值就可。这就是阿氏圆的模型。

如何出现相似比是\frac{\sqrt{10} }{2} 呢?其实就是\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{2} }


再回到题目,由已知条件可知,A(-1,0),B(3,0),C(0,3),D,(1,1),OD=\sqrt{2} DP=\sqrt{5} ,所以,\frac{DO}{DP} =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{5} } ,不妨延长DO至E,使得\frac{DE}{DP} =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{5} } ,也就是DE=\frac{5\sqrt{2} }{2} ,则E(-\frac{3}{2} -\frac{3}{2} ),∴\frac{OP}{OD} =\frac{DE}{DP} =\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{10} }{2} ,∴DOP∽DPE,∴PE=\frac{\sqrt{10} }{2} PO,当P,C,E三点共线时可以求出最小值。

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