学习一点简单的基础知识
单细胞RNA测序(single-cell RNA-seq，scRNA-seq)数据是非常有特点的数据，具有很高的稀疏性(high sparsity)，具体表现为0非常多(zero inflation)。对于数据的分布给出合理的假设是非常关键的工作，是downstream analysis的基础。显然对于scRNA-seq的reads count数据，最常用的正态分布是不合理的。首先正态分布描述的是连续型数据，而reads count数据是离散的；其次reads count数据的取值只能为非负整数。经过不断的尝试，ZINB被证明是一种可以较好的描述scRNA-seq数据的模型，并且作为一些更advanced的模型的基础比如SAVER，scVI等。下面我们来看这个模型的细节。
1 Poisson Distribution
基于reads count数据的取值均为非负整数的特点，一个直观的想法就是用泊松分布来拟合scRNA-seq数据。泊松分布的定义如下：
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这里X即为gene在细胞内的表达水平(reads count的数值)。但是用泊松分布来描述scRNA-seq数据面临了一个新的问题。我们都知道，泊松分布的期望和方差是相等的，即：
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但是对于实际的数据来说，随着gene的平均表达水平越高，其样本方差与样本均值的差越大，也即scRNA-seq数据的另一个特点——over-dispersion。我们用一张图来举例说明
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如图所示，直线(y = x)为基于泊松分布的假设下，基因表达的理论均值与方差的关系，可以看到对于每一种基因，其理论均值与方差相同。而直线之上的部分体现了实际数据中，基因表达的样本均值与样本方差的关系，我们看到，随着基因表达样本均值的增大，基因表达的样本方差与均值的差越来越大，不符合泊松分布的性质。
2 Gamma Distribution
对于泊松分布来说，λ是固定不变的，如果我们给λ一个prior呢。 我们关于prior的选择是Gamma分布。而选择Gamma分布作为λ的prior在生物学含义上似乎没有比较直观的解释（其实是我自己没搞懂hhh），但是从统计观点看，Gamma分布是泊松分布的共轭先验(conjugate prior)，会使得计算posterior非常方便。
Gamma分布的定义如下：
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3 Negative Binomial Distribution
上述问题现在汇总为：
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证明X服从负二项分布：
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根据上述证明，X服从负二项分布。但是新的问题接着产生，在产生数据的过程中，由于一些technical noises(比如某段RNA没有能够被逆转录)和intrinsic biological variability会导致数据中0的比例非常高，这也就是所谓的zero inflation。于是人们在NB的基础上，进一步发展出了ZINB。
4 Zero-inflated Negative Binomial
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其中δ0为Dirac function，π可以视为真实的基因表达值被观测为0的概率。至此，整个ZINB模型被完整的建立起来。除了以上这种利用Poisson和Gamma mixture构造NB的方法外，也有人通过NB的两个参数mean μ和inverse dispersion parameter σ构造NB，即
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5 Zero-inflated? (UMI based or read based).
已经有很多工作证明了对于UMI based sequencing来说， NB其实可以很好的刻画scRNA-seq data(可以参考Nancy Zhang的SAVER)。所以到底用ZINB还是NB还是要取决于测序的技术。不过目前大部分测序都是UMI-based了，所以NB可能会成为更general的选择。
Reference:
https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution
https://gregorygundersen.com/blog/2019/09/16/poisson-gamma-nb/
https://zhuanlan.zhihu.com/p/95299303
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