应用几何直观对二元函数最优解的分析

通过几何直观来分析函数z=f（x，y）最大值或最小值的位置。

1. Mathematica中三维图像的画图函数

函数f（x，y）=x2 +y2 −cosπx的三维图像

函数f（x，y）=x2 +y2 −cosπx的等高线图和密度图

2. 高维函数的极值理论

且f在该处关于各个分量的一阶偏导数存在，则

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局部极小值
局部极大值
鞍点

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Lagrange乘数法

Lagrange乘数法是当约束条件为等式时高维函数求最大值和最小值的一种强有力的数学方法。

1. Lagrange乘数法的基本思想

对于一个二元函数，等式约束条件可以认为是最优解必须经过的xy-平面上的一条曲线，不在这条曲线上的点不在考虑的范围之内。以下通过实例来说明Lagrange乘数法的基本思想。

求函数z=f（x，y）=（x+y−1/4）e−x2 −y2 在约束条件g（x，y）=（x−1/2）2 +（y−1/3）2 =1下的最大值点。

虚线为约束曲线g（x，y）=1，实线为函数f（x，y）的若干等高线
最大值点与最小值点图示

有不等式约束的条件最值在很多情况下，具有不等式约束的条件最值问题也可以借助Lagrange乘数法来求解。

求函数f（x，y，z，t）=x2 +y2 +z2 +t2 在约束条件x−z≤2与y2 +t≤4下的最大值点与最小值点。