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1周学FFT——第4天 $W_N^{nk}$的分布、周期性和对称

1周学FFT——第4天 $W_N^{nk}$的分布、周期性和对称

作者: 理耳兔子 | 来源:发表于2020-04-13 00:56 被阅读0次

因为W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}，所以当选定一个k时（求取某个频率的分量），遍取n= 0, 1, 2, ..N-1之后所得的W_N^{nk}会均匀的分布在复平面的单位圆上。而随着k取值的变化，W_N^{nk}的分布可以分为三种情况：

  1. k与N有公约数时，所有的W_N^{nk}均匀的叠到N/\text{gcd}(k,N)个点上；
  2. k为0时，所有W_N^{nk}叠在一起，在1+0j上；
  3. k为其他数时，所有的N个W_N^{nk}均匀分布；

比如，当N=10时，k分别选取3，0，5，6时，W_N的分布情况如下图所示：

N=10，k分别取3，0，5，6时的$W_N^{nk}$分布情况

由上面的示意图不难推导出更一般的关于W_N^{nk}的周期性和对称性的结论，若a,b,r \in \mathbb{Z}，则有：

  • 周期性1（经常用）：若b=rN+a，则\because W_N^{rN}=e^{-j2r\pi}=1，\therefore W_N^{b} =W_N^{rN}W_N^{a}= W_N^{a}
  • 周期性2（要用）：若b=ra,且N可被r整除，则W_N^{b}=e^{-j\frac{2\pi}{N}ra}=e^{-j\frac{2\pi}{N/r}a} =W_{\frac{N}{r}}^{a}
  • 原点对称（只用特例）：若b=\frac{N}{2}+rN+a，且N为偶数，则\because W_N^{\frac{N}{2}}=e^{-j\pi}=-1, \therefore W_N^b=W_N^{\frac{N}{2}+a}=-W_N^{a}
  • 实轴对称（不常用）：若b=rN-a，则W_N^{b}=W_N^{-a}，即\text{Re}[W_N^{a}]=\text{Re}[W_N^{b}]，\text{Im}[W_N^{a}]=-\text{Im}[W_N^{b}]
  • 虚轴对称（不常用）：若b=\frac{N}{2}+rN-a，则\text{Re}[W_N^{a}]=-\text{Re}[W_N^{b}]，\text{Im}[W_N^{a}]=\text{Im}[W_N^{b}]

习题

  1. 利用W_N^{kn}的周期性和对称性说明，为何W_4^2=-W_4^0？
  2. 为何W_2^0=W_4^0？
  3. 为何W_2^1=W_4^2？
  4. 为何W_2^1W_4^1=W_4^3=-W_4^1?
  5. 编写matlab程序，绘制N=4，k=1时W_N^{nk}在单位圆上的分布。

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