1周学FFT——第4天 $W_N^{nk}$的分布、周期性和对称

作者: 理耳兔子 | 来源:发表于2020-04-13 00:56 被阅读0次

因为 $W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$ ，所以当选定一个k时（求取某个频率的分量），遍取 $n= 0, 1, 2, ..N-1$ 之后所得的 $W_N^{nk}$ 会均匀的分布在复平面的单位圆上。而随着k取值的变化， $W_N^{nk}$ 的分布可以分为三种情况：

比如，当N=10时，k分别选取3，0，5，6时， $W_N$ 的分布情况如下图所示：

N=10，k分别取3，0，5，6时的$W_N^{nk}$分布情况

由上面的示意图不难推导出更一般的关于 $W_N^{nk}$ 的周期性和对称性的结论，若 $a,b,r \in \mathbb{Z}$ ，则有：

周期性1（经常用）：若 $b=rN+a$ ，则 $\because W_N^{rN}=e^{-j2r\pi}=1$ ， $\therefore W_N^{b} =W_N^{rN}W_N^{a}= W_N^{a}$
周期性2（要用）：若 $b=ra$ ,且N可被r整除，则 $W_N^{b}=e^{-j\frac{2\pi}{N}ra}=e^{-j\frac{2\pi}{N/r}a} =W_{\frac{N}{r}}^{a}$
原点对称（只用特例）：若 $b=\frac{N}{2}+rN+a$ ，且N为偶数，则 $\because W_N^{\frac{N}{2}}=e^{-j\pi}=-1$ , $\therefore W_N^b=W_N^{\frac{N}{2}+a}=-W_N^{a}$
实轴对称（不常用）：若 $b=rN-a$ ，则 $W_N^{b}=W_N^{-a}$ ，即 $\text{Re}[W_N^{a}]=\text{Re}[W_N^{b}]$ ， $\text{Im}[W_N^{a}]=-\text{Im}[W_N^{b}]$
虚轴对称（不常用）：若 $b=\frac{N}{2}+rN-a$ ，则 $\text{Re}[W_N^{a}]=-\text{Re}[W_N^{b}]$ ， $\text{Im}[W_N^{a}]=\text{Im}[W_N^{b}]$