堆排序一种是基于二叉堆的排序。本文将从优先队列讲起，循序渐进的实现堆排序。这也是《算法》第四版上讲解堆排序的大致章节结构。另外，本文所有的图都来自于此书。
优先队列
普通队列是一种先进先出的数据结构，先放进队列的元素取值时优先被取出来。而优先队列是一种具有最高优先级元素先出的数据结构，比如每次取值都取最大的元素。
优先队列有两个核心方法，一个是insert(val)向队列中添加元素，另外一个是delMax()删除最大元素（优先级最高的）并返回。可以考虑使用数组来存储优先队列的数据。
优先队列有如下三种实现方式：
- 有序数组(调用insert方法时使用类似插入排序把新增元素放到正确位置，调用delMax方法时直接取数组最后一个元素，因为此时元素已经是有序状态)
- 无序数组（调用insert方法时直接把元素放到数组中，调用dexMax方法时使用类似选择排序的方法从数组中找出最大元素，删除并返回）
- 堆
优先队列时间复杂度对比与演示
堆的算法
优先队列可以使用一棵堆有序的二叉树来解决。什么叫做堆有序呢？当一棵二叉树的每个几点都大于它的两个子节点时，它被称为堆有序。那么，根节点就是堆有序的二叉树中的最大节点。
二叉堆可以使用数组来存储。为了方便起见，根节点放在位置1处（位置0不使用），它的两个子节点分别放在位置2和位置3。同理可知，在一个堆中，位置k的节点的父节点的位置为k/2，而它的两个子节点的位置则分别为2k和2k+1.我们就可以这样在树的上下移动：访问a[k]节点的上一层就令k等于k/2，向下一层就令k等于2k或2k+1.
如下图所示：
堆的表示
使用二叉堆，我们就能实现对数级别的插入元素和删除最大元素。
由下自上的堆有序化（上浮）
当调用优先队列的insert方法时，我们首先把元素放置到数组的结尾，然后再把该元素上浮到正确的节点，最终形成堆有序状态。
代码如下：
//下标为k的元素上浮到正确位置
function swim(arr,k) {
while(k>1 && less(arr,parseInt(k/2),k)){
//父节点索引
var parentNode = parseInt(k/2);
exch(arr,parentNode,k);
k = parentNode;
}
}
由上至下的堆有序化（下沉）
当调用优先队列的delMax方法时，我们下标为1的元素（最大元素）和数组最后一个元素交换，返回最大元素，数组长度减去1，即删除最后一个元素。此时的位置1元素不一定是最大元素，就需要下沉到正确位置，重新构造有序堆。
代码如下：
//下标为k的元素下沉到正确位置
function sink(arr,k,len) {
var len = len ||arr.length;
while(2*k <= len){
var j = 2*k;
if(j<len && less(arr,j,j+1)) j++;
if(!less(arr,k,j)) break;
exch(arr,k,j);
k = j;
}
}
堆有序化示例图：
堆有序化
堆的操作示例图：
堆的操作
优先队列实现
理解了实现堆有序的上浮和下沉两种方法，优先队列的实现就轻而易举了，代码如下：
/**
* 优先队列
* @constructor
*/
function MaxQueue() {
this.queue = []; //- 存储基于堆的完全二叉树
this.len = 0; //- 存储于queue[1..len]中，queue[0]未使用
}
/**
* 向优先队列中插入元素
* @param val
*/
MaxQueue.prototype.insert = function (val) {
this.queue[++this.len] = val; //- 从索引1开始添加元素
//使新增元素上浮到树的正确位置
swim(this.queue,this.len);
};
/**
* 删除优先队列中的最大元素，并返回该元素
* @returns {*}
*/
MaxQueue.prototype.delMax = function () {
var max = this.queue[1]; //- 从根节点得到最大元素
exch(this.queue,1,this.len--); //- 把最后一个节点放到根节点上，并且让长度索引减一
this.queue.length = this.len+1; //- 删除最后一个节点
sink(this.queue,1); //- 下沉根节点，恢复堆的有序性
return max;
};
MaxQueue.prototype.show = function () {
console.log(this.queue);
};
MaxQueue.prototype.isEmpty = function () {
return this.len==0;
};
示例图：
堆上的优先队列操作
堆排序
理解了优先队列，堆排序的逻辑十分简单。第一步：让数组形成堆有序状态；第二步：把堆顶的元素放到数组最末尾，末尾的放到堆顶，在剩下的元素中下沉到正确位置，重复操作即可。
代码如下：
/**
* 堆排序算法
* @constructor
*/
function HeapSort() {}
HeapSort.prototype.sort = function (arr) {
var len = arr.length;
//由于arr[0]不使用，放到最后使得能够被排序
//注意：也可在less和exch中解决，见后面的Java完整代码实现。这里为了对应位置1的元素不使用，方便对照看代码与样例图。
arr[len] = arr[0];
//使用下沉来构造二叉堆
for(var k=parseInt(len/2);k>=1;k--){
sink(arr,k,len);
}
//不断把最大的arr[1]交换到最后，然后让新的arr[1]元素下沉到堆有序状态
while (len>1){
exch(arr,1,len--);
sink(arr,1,len);
}
//删除未使用的arr[0]（也可在less和exch中解决，见Java代码实现）
arr.splice(0,1);
};
示例图：
堆排序
完整代码
Javascript实现
/**
* Created by YiYing on 2017/5/2.
*/
(function (W) {
/**
* 优先队列
* @constructor
*/
function MaxQueue() {
this.queue = []; //- 存储基于堆的完全二叉树
this.len = 0; //- 存储于queue[1..len]中，queue[0]未使用
}
/**
* 向优先队列中插入元素
* @param val
*/
MaxQueue.prototype.insert = function (val) {
this.queue[++this.len] = val; //- 从索引1开始添加元素
//使新增元素上浮到树的正确位置
swim(this.queue,this.len);
};
/**
* 删除优先队列中的最大元素，并返回该元素
* @returns {*}
*/
MaxQueue.prototype.delMax = function () {
var max = this.queue[1]; //- 从根节点得到最大元素
exch(this.queue,1,this.len--); //- 把最后一个节点放到根节点上，并且让长度索引减一
this.queue.length = this.len+1; //- 删除最后一个节点
sink(this.queue,1); //- 下沉根节点，恢复堆的有序性
return max;
};
MaxQueue.prototype.show = function () {
console.log(this.queue);
};
MaxQueue.prototype.isEmpty = function () {
return this.len==0;
};
W.MaxQueue = MaxQueue;
/**
* 堆排序算法
* @constructor
*/
function HeapSort() {}
HeapSort.prototype.sort = function (arr) {
var len = arr.length;
//由于arr[0]不使用，放到最后使得能够被排序
//注意：也可在less和exch中解决，见后面的Java完整代码实现。这里为了对应位置1的元素不使用，方便对照看代码与样例图。
arr[len] = arr[0];
//使用下沉来构造二叉堆
for(var k=parseInt(len/2);k>=1;k--){
sink(arr,k,len);
}
//不断把最大的arr[1]交换到最后，然后让新的arr[1]元素下沉到堆有序状态
while (len>1){
exch(arr,1,len--);
sink(arr,1,len);
}
//删除未使用的arr[0]（也可在less和exch中解决，见Java代码实现）
arr.splice(0,1);
};
W.HeapSort = HeapSort;
//下标为k的元素上浮到正确位置
function swim(arr,k) {
while(k>1 && less(arr,parseInt(k/2),k)){
//父节点索引
var parentNode = parseInt(k/2);
exch(arr,parentNode,k);
k = parentNode;
}
}
//下标为k的元素下沉到正确位置
function sink(arr,k,len) {
var len = len ||arr.length;
while(2*k <= len){
var j = 2*k;
if(j<len && less(arr,j,j+1)) j++;
if(!less(arr,k,j)) break;
exch(arr,k,j);
k = j;
}
}
function less(arr,m,n) {
//可根据不同的数据类型设置比对规则，比如json。这里适用于数字与字符串。
return arr[m]<arr[n];
}
/**
* 交换数组arr中m与n的位置
* @param m
* @param n
*/
function exch(arr,m,n) {
var swap = arr[m];
arr[m] = arr[n];
arr[n] = swap;
}
})(window);
//测试代码
(function () {
//优先队列测试，依次从大到小输出元素
var q = new MaxQueue();
q.insert(3);
q.insert(33);
q.insert(9);
q.insert(21);
while (!q.isEmpty()){
console.log(q.delMax())
}
//堆排序测试代码
var arr = [4,5,6,0,3,5,21,7,9,0,1];
new HeapSort().sort(arr);
console.log(arr);
})();
Java实现
package com.algs;
public class Heap {
/**
* 堆排序
* @param pq
*/
public static void sort(Comparable[] pq) {
int n = pq.length;
//构造堆结构
for (int k = n/2; k >= 1; k--)
sink(pq, k, n);
//排序数组
while (n > 1) {
exch(pq, 1, n--);
sink(pq, 1, n);
}
}
//下沉元素
private static void sink(Comparable[] pq, int k, int n) {
while (2*k <= n) {
int j = 2*k;
if (j < n && less(pq, j, j+1)) j++;
if (!less(pq, k, j)) break;
exch(pq, k, j);
k = j;
}
}
//注意这里i和j都减去1
private static boolean less(Comparable[] pq, int i, int j) {
return pq[i-1].compareTo(pq[j-1]) < 0;
}
//注意这里i和j都减去1
private static void exch(Object[] pq, int i, int j) {
Object swap = pq[i-1];
pq[i-1] = pq[j-1];
pq[j-1] = swap;
}
private static void show(Comparable[] a) {
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
System.out.println(a[i]);
}
}
public static void main(String[] args) {
String[] a = {"S","O","R","T","E","X","A","M","P","L","E"};
Heap.sort(a);
show(a);
}
}
总结
- 不稳定。
- 原地排序。
- 时间复杂度为NlogN
- 空间复杂度为l
GitHub：https://github.com/AlbertKnag/algs-practice
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