渗透数学思想方法 提高学生思维素质
摘 要
小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。在小学数学教学中，要十分重视数学思想方法的渗透。根据“数学思想方法隐含于数学之中”的特点，要针对不同的数学内容,灵活设计教法，引导学生在主动探究数学知识的过程中，领悟和掌握数学思想方法，提高学生思维素质。
关键词：数学思想方法 教学 思维素质
引 言
数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。要发展学生的思维，培养数学能力，就必须在数学知识的学习和运用过程中，进行数学思想方法的教学，使之能对学生的思维及整体文化素质产生深刻而持久的影响。
一、渗透数学思想方法的重要性
1.1数学思想的概念
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
1.2数学思想方法的含义
数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。数学方法，是指某一数学活动的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。要发展学生的思维，培养数学能力，就必须在数学知识的学习和运用过程中，进行数学思想方法的教学，使之能对学生的思维及整体文化素质产生深刻而持久的影响。
1.3数学思想方法的分类
函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想、归纳推理思想、极限思想。
1.4渗透数学思想方法的重要性
数学是一门拓展思维的学科，它以简单的计算解决生活常见问题，培养孩子动脑的习惯，并能通过数学题分析有效的培养孩子逻辑思维的能力，在计算错误时认识到自己反思自己，逐步使孩子成长并能细致细心分析实际问题。所以数学思维教育不单单是数学学习，而是孩子成功路上的基石。
二、数学思想方法在教学中的运用
2.1探索数学思想方法教学的原则
进行数学思想方法的教学必须在实践中探索规律,以构成数学思想方法教学的指导原则。揭示渗透与浅显结合。数学教学内容是由教材中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、例题等(或称表层知识)以及由其内容所反映出的数学思想和方法(或称深层知识)组成的。教材中,除个别思想方法外，大量的、较高层次的思想方法是蕴含于表层知识之中,处于潜形态。
作为教师,应该将深层知识揭示出来,将这些深层知识由潜形态转变为显形态,由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握。这样才能根据学生实际,采取适当措施去体现思想方法的教学。反复系统与螺旋推进结合。数学思想方法属于逻辑思维的范畴,学生对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级”的认识过程。
在教学中,学生对某一思想方法首先是产生感性的认识,再经过多次反复,在比较丰富的感性认识的基础上,逐渐概括上升成理性认识,最后在应用中,对形成的数学思想方法进行验证和发展,进一步加深理性认识。因而只有反复渗透,才能螺旋上升。
2.2数学思想方法在教学中的运用
2.2.1函数方程思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
2.2.2数形结合思想
数形结合思想:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。
2.2.3分类讨论思想
当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。
2.2.4方程思想
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
2.2.5整体思想
问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般
特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。
转化思想亦可在狭义上称为化归思想。化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法。
没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。例如一个等腰三角形，一条线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。
把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
为了更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性地描述一个实际现象，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理
另外，还有概率统计思想等数学思想，例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
三、如何提高学生思维素质
3.1在概念、定理、公式、法则教学中渗透数学思想方法
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，并且不成体系的散见于教材各章节中。所以，作为教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体规划，提出不同阶段的具体教学要求。比如：在复习立体几何“空间的角”的教学中，教师不要简单的对定义进行复习，应该引导学生从领悟“两异面直线所成的角”到“直线与平面所成的角”到“平面与平面所成的角”的形成隐含的“转化思想”，使学生重新的认识到将空间问题转化为平面问题是学习立体几何的基本思想方法。数学知识是数学思想方法的载体，而数学知识的形成又是数学思想方法运用的结果。数学思想方法的教学是一个长期过程，必须与基础知识的教学同步进行，与思维品质的培养同步进行。让学生亲自参与问题的探索过程，从而激发学生的学习兴趣，使学生在学习和探索中感受和领会到数学思想方法。
3.2在例题复习教学中揭示数学思想方法
数学教学中充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，揭示其中隐含的数学思维，才能有效地培养和发展学生的数学思想方法。解题的过程实质上是在化归思想的指导下，合理联想提取相关知识，运用一定的数学思想方法加工、处理题设条件和知识，逐步缩小题设与题目结论之间的差异过程。我们在复习函数教学的时候，运用数学思想方法分析、解决问题，可以开拓学生思维空间，优化解题策略。如：例1.设f(x)＝4n／4n+2,求f(1／2003)+f(2／2003)+…+f(2005／2003)的值。分析：本题如果直接求解，无从下手，如果利用特殊与一般相互转化的方法，引导学生观察式子的数量特征：
1／2003+2002／2003=1，2／2003+2001／2003=1
将问题转化为研究函数
f(n)=4n／4n+2
的结构特征，得出
f(a)+f(1-a)
这个一般性结论后容易解题。从特殊到一般转化思想方法的渗透，让学生豁然开朗。在解题的复习教学中适当渗透数学思想方法，开拓了学生的思维空间，优化了学生的思维品质，提高了学生的解题能力，从而能够轻松的应对之后的高考。
3.3在复习归纳总结中概括数学思想方法
用数学思想指导基础复习，并且在基础复习中培养学生概括与总结数学知识的方法。基础知识的复习中要充分展现出知识形成、发展过程，揭示其中蕴涵的丰富数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时有两种基本方法：一是把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形中考虑直线和圆锥曲线交点的情况，利用数形结合的思想方法将会使问题清晰明了。在几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法于一体，就是这些思想方法灵活运用的典范。只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时形成系统的条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生面前。学生才能从中领悟到创造性思维，这对激发学生的思维能力，形成数学思想，掌握数学方法有着重要的作用。注重知识在教学体系整体机构中的内在联系，揭示思想方法在知识相互联系、相互沟通中的连接作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或者小于一常数时，分别可得方程、不等式，联想函数图像可提供方程，不等式的解的几何意义。运用数形结合、转化的思想，这三部分知识可以相互使用。注重总结存在于数学知识体系中的教学思想方法，揭示思想方法对学生形成系统的知识结构、把握知识的运用，深化对知识的理解等数学活动中的指导作用。
3.4结论
总而言之，数学思想、数学方法的自觉运用往往使我们运算简洁、推理机敏，更是提高学生数学能力的必由之路。教师在教学的每个环节中，都要重视数学思想方法的教学。方法的掌握，数学思想的形成才能使学生受益匪浅。虽然，要使学生真正具备有个性化的数学思想方法，并不是通过几堂课就能实现的，但是只要老师在教学中大胆实践，坚持下去，寓数学思想方法于平时的教学中，学生对数学思想方法的认识就一定会逐渐成熟。
参考文献
[1] 夏俊生：《数学思想方法与小学数学教学》，河海大学出版社.1998年12月。
[2] 梁佳彬：《新课程下数学教学思想方法的渗透新一代》，（下半月）2010年6月。
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