理想气体小振幅波状态方程

作者: itkkanae | 来源:发表于2020-04-19 19:23 被阅读0次

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设理想气体压强 $p$ ，密度 $\rho$ ，熵值 $s$ 满足 $p=p(\rho,s)$ ，在等熵变化过程中压强的初始值为 $p_{0}(\rho_{0},s)$ ，将 $p(\rho,s)$ 在 $p_{0}$ 处展开成级数得：
$p(\rho,s)=p_{0}(\rho_{0},s)+\frac{\partial p}{\partial\rho}|_{\rho=\rho_{0},s=s}(\rho-\rho_{0})+...+\frac{1}{n!}\frac{\partial^{n}p}{\partial\rho^{n}}|_{\rho=\rho_{0},s=s}(\rho-\rho_{0})^{n}$

$p(\rho,s)-p_{0}(\rho_{0},s)=\frac{\partial p}{\partial\rho}|_{\rho=\rho_{0},s=s}(\rho-\rho_{0})+...+\frac{1}{n!}\frac{\partial^{n}p}{\partial\rho^{n}}|_{\rho=\rho_{0},s=s}(\rho-\rho_{0})^{n}$

$\Delta p=\frac{\partial p}{\partial\rho}|_{\rho=\rho_{0},s=s}\Delta\rho+...+\frac{1}{n!}\frac{\partial^{n}p}{\partial\rho^{n}}|_{\rho=\rho_{0},s=s}\Delta\rho^{n}$

由于小振幅波 $\Delta\rho$ 的高次幂相对于一次幂可以忽略不记，得状态方程：
$\Delta p=\frac{\partial p}{\partial\rho}|_{\rho=\rho_{0},s=s}\Delta\rho$

$\Delta p=c_{0}^{2}\Delta\rho$

（以下部分解释暂无找到确切依据）
等温波速
根据理想气体状态方程 $pV=\frac{mRT_{K}}{M}$ ，如果在等温变化下，能量快速传递不转化为内能，温度 $T_{K}$ 保持不变，可推出等温变化波速：
$\sqrt{\frac{\partial p}{\partial\rho}}=\sqrt{\frac{\Delta p}{\Delta\rho}}=\sqrt{\frac{\Delta pV}{\Delta m}}=\sqrt{\frac{\frac{\Delta mRT_{K}}{M}}{\Delta m}}=\sqrt{\frac{RT_{K}}{M}}=c_{T}$

等熵波速
在等熵绝热的情况下，能量传递无法快速消散并转化为内能，系统对外做功 $dA$ 为：
$dA=-\frac{m}{M}C_{V}dT=pdV$

对理想气体状态方程两边微分得：
$pdV+Vdp=\frac{m}{M}RdT$

合并上两式消去 $dT$ 得：
$(C_{V}+R)pdV=-C_{V}Vdp$

代入绝热指数 $\gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}=\frac{C_{V}+R}{C_{V}}$ 得：
$\gamma\frac{dV}{V}=-\frac{dp}{p}$

将两边积分得到等熵变化中其乘积为恒定常数：
$pV^{\gamma}=C$

现有一定质量气体从 $p_{0}V_{0}$ 变为 $pV$ ，则满足下列式子：
$pV^{\gamma}=p_{0}V_{0}^{\gamma}$

$p=p_{0}(\frac{V_{0}}{V})^{\gamma}=p_{0}(\frac{\rho}{\rho_{0}})^{\gamma}$

将上式代入 $\sqrt{\frac{\partial p}{\partial\rho}}|_{\rho=\rho_{0}}$ 中得等熵波速：
$c_{s}=\sqrt{\frac{\partial p}{\partial\rho}}|_{\rho=\rho_{0}}=\sqrt{p_{0}\frac{\gamma\rho^{\gamma-1}}{\rho_{0}^{\gamma}}}|_{\rho=\rho_{0}}=\sqrt{\gamma \frac{p}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma RT_{K}}{M}}$

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