于是到现在为止就有一个认识：

对于有理函数，它分为了整函数与分数函数

对于分数函数，又分为真分数函数和假分数函数。

每一个假分数函数都可以分解为整函数加上一个真分数函数。

于是

有理函数就可以分为整函数与真分数函数。

现在

真分数函数可以继续分解为简分式之和。

对于实系数多项式，简分式也只有线性因式作分母和二次不可约因式作分母两种情况。

最终

有理函数分为整函数，一次简分式，二次不可约简分式。其他的函数都可以通过函数的加法得到。

有理函数积分

这个话题几年前前就想谈谈了，结果拖到了现在，不过认识也随着知识的积累而更进一步。

考虑积分对于加法是保持的，先做加法再积分，与先积分在做加法，结果是一致的。

于是，只要每组分的积分可求，那么有理函数类中任意函数的积分就都可求了。

所以书上往往只列出三类函数的积分，整函数，一次简分式，二次简分式。具体的过程都是模板化的。

至此，就解决了这一问题。

可以继续展开来谈

从上面的推理中可以看到对有限的几种函数施加一些运算，可以得到范围大的多的一类函数。这就是代数的威力。

考虑黎曼积分，黎曼积分具有的代数性质包括加法，数乘，区间加法。

借助于这些代数运算，可以从一个很特殊的情况，比如区间[0，1]上连续函数的积分，推广到很一般的情况，比如[a,b]上有有限间断点的函数的积分。

仅仅包括代数还是不够的，应该再加上拓扑性质，所谓拓扑，更多采用的是度量空间的性质，就是各种极限过程，构造各种序列，定义出它们的极限列，这一过程可以将代数的有限运算推广到可数运算。从而得到更多的新特性。

开区间的有限交运算得到的只能是开集，而开集的可数交运算就可以获得闭集。这样，代数运算从有限推广到可数，其结果发生了显著的变化。

考虑黎曼积分的推广，一个也就是常说的反常积分，从闭区间上的连续函数推广到开区间上的连续函数，这就给无界函数定义了积分，从有限区间推广到无穷区间，就给整个实轴定义了积分。另一个就是间断的问题，从有限个间断点推广到了可数多个间断点。在这方面已经达到了黎曼积分的边界了。

现在回顾一下，代数性质可以将有限几个的结果推广到有限个，拓扑性质可以从有限个结果，推广到可数个。这时，一般而言就到达理论的终点了。

熟悉无穷集合的估计能想到，其实后面还有一层，从可数个推广到不可数，但这个就很奇怪了，不可数就不能记数了，那这推广后的到底是什么东西？难道能说，把一个数加不可数次，这就很尴尬，说次的时候都默认有一个顺序，而不可数是无法表述出顺序的。我见到的关于不可数运算的表述往往借助于指标集，因为选择公理的缘故，承认选择公理就等价于承认任何集合都有这样的顺序，尽管他是无法描述的，但是它是存在的。所以，把指标集取定为不可数集比如区间[0，1]就行了。