40.分数函数分解为简分式之和

继续上一节的内容，假设分母多项式可以完全分解为线性因式之积。

那么真分数函数就可以分解为这些线性因式作分母的一系列简分式之和。

上面又有一个例子：

具体过程就不写了，同样是待定系数法。

于是到现在为止就有一个认识：

对于有理函数，它分为了整函数与分数函数

对于分数函数，又分为真分数函数和假分数函数。

每一个假分数函数都可以分解为整函数加上一个真分数函数。

于是

有理函数就可以分为整函数与真分数函数。

现在

真分数函数可以继续分解为简分式之和。

对于实系数多项式，简分式也只有线性因式作分母和二次不可约因式作分母两种情况。

最终

有理函数分为整函数，一次简分式，二次不可约简分式。其他的函数都可以通过函数的加法得到。

有理函数积分

这个话题几年前前就想谈谈了，结果拖到了现在，不过认识也随着知识的积累而更进一步。

考虑积分对于加法是保持的，先做加法再积分，与先积分在做加法，结果是一致的。

于是，只要每组分的积分可求，那么有理函数类中任意函数的积分就都可求了。

所以书上往往只列出三类函数的积分，整函数，一次简分式，二次简分式。具体的过程都是模板化的。

至此，就解决了这一问题。

可以继续展开来谈

从上面的推理中可以看到对有限的几种函数施加一些运算，可以得到范围大的多的一类函数。这就是代数的威力。

考虑黎曼积分，黎曼积分具有的代数性质包括加法，数乘，区间加法。

借助于这些代数运算，可以从一个很特殊的情况，比如区间[0，1]上连续函数的积分，推广到很一般的情况，比如[a,b]上有有限间断点的函数的积分。

仅仅包括代数还是不够的，应该再加上拓扑性质，所谓拓扑，更多采用的是度量空间的性质，就是各种极限过程，构造各种序列，定义出它们的极限列，这一过程可以将代数的有限运算推广到可数运算。从而得到更多的新特性。

开区间的有限交运算得到的只能是开集，而开集的可数交运算就可以获得闭集。这样，代数运算从有限推广到可数，其结果发生了显著的变化。

考虑黎曼积分的推广，一个也就是常说的反常积分，从闭区间上的连续函数推广到开区间上的连续函数，这就给无界函数定义了积分，从有限区间推广到无穷区间，就给整个实轴定义了积分。另一个就是间断的问题，从有限个间断点推广到了可数多个间断点。在这方面已经达到了黎曼积分的边界了。

现在回顾一下，代数性质可以将有限几个的结果推广到有限个，拓扑性质可以从有限个结果，推广到可数个。这时，一般而言就到达理论的终点了。

熟悉无穷集合的估计能想到，其实后面还有一层，从可数个推广到不可数，但这个就很奇怪了，不可数就不能记数了，那这推广后的到底是什么东西？难道能说，把一个数加不可数次，这就很尴尬，说次的时候都默认有一个顺序，而不可数是无法表述出顺序的。我见到的关于不可数运算的表述往往借助于指标集，因为选择公理的缘故，承认选择公理就等价于承认任何集合都有这样的顺序，尽管他是无法描述的，但是它是存在的。所以，把指标集取定为不可数集比如区间[0，1]就行了。