估算的重要性

曾经有朋友问，除了升学以外，数学学了有什么用？这是一个不容易回答的问题，但我可以说，普通人的生活中其实还是能用到很多数学能力的，比如估算就是其中一种。

曾经有一个笑话，说国内某Top 2高校的女生在东门外的地摊上买苹果，摊主开价1块5一斤，女生想砍价，问：5块3斤卖不卖？

虽然P大和T大相继申明此笑话有故意抹黑该校的嫌疑，我也觉得这就是个杜撰的段子，但这个段子至少说明了估算的重要性。

今天刷微博，看到浙大的数学科普博主@贼叉 转了一道题：

大道至简，重剑无锋，贼叉给出的方法居然是：

132 + 156 + 182 + 210 + 240 + 272 + 306 + 342 + 380 = 2220

他自己解释说“反正没几个”——说明咱中国人的心算水平确实高。

我给出的方法是将每一项n(n + 1)拆成n² + n，然后利用自然数平方和公式和自然数求和公式分别计算：

11² + 12² + … + 19² = 19 ∙ 20 ∙ 39 / 6 - 10 ∙ 11 ∙ 21 / 6 = 2085

11 + 12 + … + 19 = (11 + 19) ∙ 9 / 2 = 135

两者加起来等于2200。不过，用公式的方法和直接计算的方法相比，似乎也简单不到那里去。

当然，我们可以有更巧妙一点的公式，通过裂项构建一个连续三个自然数相乘的数列，注意到

n(n + 1)
= 3n(n + 1) / 3
= [(n + 2) - (n - 1)] n(n + 1) / 3
= [n( n + 1) (n + 2) - (n - 1)n(n + 1)] / 3

这样，原数列的求和就等于新数列首尾两项之差，即 (19 ∙ 20 ∙ 21 - 10 ∙ 11 ∙ 12) / 3 = 2200。

不过，在网友们的评论中出现得最多的还是估算法，比如注意到最大项是19 ∙ 20 = 380，所以这个和应该小于380 ∙ 9 = 3420，因此可以排除答案C和B；又比如将最小项和最大项的平均值乘以项数(132 + 380) ∙ 9 = 2304，忽略数列曲线的下凹，估算最近的答案是2200。

国外的小学数学教学中，非常注意估算的应用。

比如，最接近437 ∙ 8结果的选项是 A: 4370，B: 4000，C: 3500？

心算好的中国孩子可以轻易算出准确答案3496，然后在选项中选择最接近的一项。这种方法万无一失，但失去了题目考查估算能力的意义。

从选项上来看，A将8直接变成10来估算，估算值显然是比准确值高出不少；B将437变成400、8变成10，两个乘数一个减小一个加大进行补偿，得数肯定比A要更接近准确值；C则反过来，437变成500、8变成7，因为减小和加大的百分比相差更小，所以C的结果比B更接近准确值。

学会估算，不仅仅可以避免买苹果时闹笑话，更重要的是它对理解后续的数学知识也非常有帮助。

还是以两个数相乘为例，当两个数相差不大时，用它们的平均数的平方来估算就很有效，比如39 ∙ 43就可以用41的平方甚至40 的平方1600来估算，其误差不过在5%左右。又如97.3 ∙ 101.8可以估算为10000，其误差更小。

等孩子们到了初一学会平方差公式时，就会马上意识到，原来之前的这个估算正是平方差公式在a和b相差较大时的一种近似：(a + b)(a – b) = a² - b² 趋近于 a²。从这一点出发，孩子们还可以进一步学会估算在不等式中的应用。

到了初中高中，类似对“小数值”的忽略和简化还有助于孩子们对数列、级数和收敛的认识。比如下面这个对调和级数发散性的证明就很巧妙地利用了数值的简化。

1 + 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + 1 / 5 + 1 / 6 + 1 / 7 + 1 / 8 + 1 / 9 + 1 / 10 +…
= 1 + (1 / 2) + (1 / 3 + 1 / 4) + (1 / 5 + 1 / 6 + 1 / 7 + 1 / 8) + (1 / 9 + 1 / 10 +…
> 1 + (1 / 2) + (1 / 4 + 1 / 4) + (1 / 8 + 1 / 8 + 1 / 8 + 1 / 8) + (1 / 16 + 1 / 16 +…
= 1 + (1 / 2) + (1 / 2) + (1 / 2) + (1 / 2) +…
=∞

到了大学，也许他们还要学泰勒展开和牛顿多项式，那么源于小学时对估算的掌握应该能够让他们更容易地理解：估算不仅仅可以用附近点的函数值来估算目标点的函数值，还可以利用附近点的一阶导数，二阶导数和多阶导数进一步逼近目标点真实的函数值。

当然，也有可能是我想多了。

微博上另一个朋友@灵感之源 用下面这张图回复了我，还说了一句“人生苦短”。

哈哈，和阿提亚爵士相比，程序猿的人生可能是要苦短一些。

文/Athlon_BE
2018.11.18