KMP算法的一种解释

KMP算法很复杂，有很多解释方式（DFA，前缀后缀），下面是我的一种理解。

我们在s1中匹配s2，s1、s2的长度分别为N，M
1，首先我们按顺序匹配，直到匹配失败

i表示s1的匹配起始位置，j表示s2的匹配位置

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2，如果使用暴力搜索算法下一步将是这样的：

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这样算法的复杂度是N*M
但是我们可以利用已经匹配到的字符串（AABAA）进行优化：

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3，由于AABAA是已知的与s1无关的信息，下一步我们可以做到匹配位置（红框）不变，i向前跳过一些字符，j变小，减少匹配长度
这种情况一共有以下几种：
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可以看出来只有C、D、E是合法的（红框前面的部分必须匹配）
在CDE中我们只能选择C，因为选择D、E会跳过C这个可能的正确匹配
4，这里的C其实就是AABAA的最长前缀后缀匹配
它满足：
1，C是一个前缀后缀匹配：AABAA的长度为n前缀和长度为n的后缀相等
2，C是n最大的前缀后缀匹配
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5，在j=5的时候，最长前缀后缀匹配的长度为2
接下来要做的事情就是:
i+=(j-2)=3
j=2

而i+j=5，所以当前匹配位置维持在红框处不变

6，所以只要我们计算出s2上面每个位置的最长前缀后缀匹配长度（前后缀匹配数组）就可以加速匹配过程了
更详细的分析可以看出KMP算法的匹配过程时间复杂度是O(N)的

下面介绍如何计算前后缀匹配数组preSuffixArr
1,首先preSuffixArr[0]=0, 这是因为前后缀匹配不能匹配自己
2，然后preSuffixArr[n]可以按照下面的规则递归计算：
首先取v=preSuffixArr[n-1]，代表前n-1个字符的最长前后缀匹配：
如果s2[v+1]==s2[n], 那么可以补上这个字符，构成一个长度为n+1的最长前后缀匹配
如果s2[v+1]!=s2[n], 继续对v=preSuffixArr[v-1]计算这个过程

下面示例介绍如何构造AACAABAAA的[前后缀匹配数组preSuffixArr]

k表示当前计算位置，
1，k=0,preSuffixArr[0]=0

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2，k=1，然后由于s2[0]==s2[1]="A",preSuffixArr[1]=preSuffixArr[0]+1

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3，k=2，v=preSuffixArr[1]=1, 由于s2[2]!=s2[1]，匹配失败
然后v=preSuffixArr[v-1]=0, s2[2]!=s2[0], 匹配失败preSuffixArr[2]=0

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...
9，k=8，v=preSuffixArr[7]=2，s2[2]!=s2[8]，匹配失败

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v=preSuffixArr[7]=2，s2[1]!==s2[8]，匹配成功

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可以证明计算前后缀匹配数组的过程时间复杂度是O(M)的，KMP算法整体时间复杂度是O(M+N)