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Week 4-2

Week 4-2

作者: 忻恆 | 来源:发表于2020-11-04 12:54 被阅读0次

A 矩阵是一个 N × N 的矩阵，\lambda  是一个常数，则 \lambda  就是Eigenvalue，x 向量就是 Eigenvector。

Problem：Given an N × N matrix A, to find its eigenvalue and eigenvector ?

\begin{align} \rm A x &= \lambda x \\ (\rm A - \lambda \rm I) x&= 0 \end{align}

可以看出来，如果ｄｅｔ（ A－λＩ）不等于０，则 A－λＩ有逆矩阵，且 x 只有 零解 （trivial），因此我们需要 

det( \rm A－λ\rm I)=0

Characteristic Equation , 特征方程，是 λ 的 n-th order polynomial equation。

我们先看 2 * 2 的矩阵，可以得出，

\lambda ^ 2 - (a + d) \lambda + (ad - bc) = 0, a + d is the trace of A, ad - bc is the determinant of A

3 * 3 :

λ ^ 3 − \rm{Tr}(\rm A)λ ^ 2 + ∑(minors\ of\ the\ diagonal\ elements \ of \ A)λ − det A = 0

Minors 指的是 子式。

Symmetric Matrix 的特征值为实根

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