Week 21

作者: 悟空金月饺子 | 来源:发表于2021-11-19 22:09 被阅读0次

Ahmed Almheiri and Henry W. Lin "The Entanglement Wedge of Unknown Couplings"

很有趣的关于 bulk reconstruction的问题。一般我们是在AdS/CFT里面讨论bulk reconstruction，用量子信息的语言，我们可以认为bulk里面state是一些logic qubit，而边界上的state是一些physical qubit，然后我们尝试用边界上的physical qubit 对logic qubit 进行编码。我们可以问这个编码的性质是什么样的？
我们现有的理解是：

边界Hilbert space 里面大部分的state，对应了bulk里面的黑洞。
bulk里面真空附近的激发，对应了所谓的code space。code space的编码是quantum error correction code。简单的理解是，bulk的信息是non-local的被边界编码的，并且编码有一些冗余用来自纠错，即使丢失某些边界的信息，还是完整得重构出bulk里面信息，常见的情况就是subregion duality。比如我们经常考虑的情况就是，在边界去一个subregion，然后算他的entanglement，在bulk里面对应了Entanglement Wedge(EW)。在EW内部的bulk state，是可以由这个subregion来重构。

我们也考虑一个新的情景：如果我们对于边界的state本身有一定的uncertainty，比如或许由于某种原因我们不能了解physical qubit的所有信息，那么这些uncertainty会怎样影响bulk reconstruction。文章考虑的一个具体实现这情景例子是，假设我们的理论本身有一些parameter $J=\{\lambda_i \}$ ，比如一些coupling，但是我们并不知道这些coupling具体的值，而是只有一个概率的描述。然后我们研究bulk reconstruction对这些coupling的一个依赖。

我们可以用 $|\psi;J\rangle_{sys}$ 来表示系统的一个态， $J$ 满足某一个分布 $P(\lambda)$ 。我们可以引入一个参照称为jounral 来追踪coupling的信息。我们有两种追踪的办法。

我们可以把jounral 和系统纠缠起来得到一个新的state
$|\Psi\rangle_{sys\cup journal}=\sum_J \sqrt{P(J)} |\psi;J\rangle_{sys}|J\rangle_{journal}$
假设我们对于coupling的信息完全未知，那么我们应该trace掉jounral 的部分得到一个reduced density matrix来描述我们能知道的系统的部分
$\rho_{sys}=\sum_J P(J)\psi_\psi (J)=\langle \rho_\psi\rangle_J$
这个reduced density matrix可以重构出的bulk程度是由他对应的quantum extremal surface来描述的，也就是我们要算 $\rho_{sys}$ entropy. 因为系统和journal 合在一起是构成了一个pure state，那么我们可以算jounral的reduced density matrix
$\rho_{journal}=\sum_{J,J'}\sqrt{P(J)P(J')}\langle \psi,J'|\psi,J\rangle |J\rangle\langle J'|$
的entropy。其中每一个inner produce $\langle \psi,J'|\psi,J\rangle$ 都应该用引力的路径积分来计算。这样当我们用replica trick再来算entropy的时候，可以想象会有replica wormhole的贡献，也就是会有island的存在。
可能值得注意的是，这个时候我们没有取一个subregion。这里的Entanglement wedge完全就是island。 island的出现就是说，即使我们完全不知道coupling的信息，在island里面的信息还是可以重构出来的，也就是这部分信息应该是universal的。
我们也可以用classical的关联来追踪coupling。即我们引入一些实验仪器或者pointer
$\rho_{sys\cup ptr}=\sum_{J} P(J) \rho_\psi(J)|J\rangle \langle J|_{ptr}.$
也就是说我们可以测量来得到一些coupling的信息，这些信息是一些classical的关联。然后可以问当我们知道这些经典的信息之后，在做bulk reconstruction。同样的我们有一个QES formula
$S(sys|ptr)=\text{min ext}_I[\frac{A(\partial I)}{4G}+S_{matter}(I|ptr) ]$