平面向量共线定理在求动点轨迹中的应用

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-08-13 08:25 被阅读0次

平面向量共线定理在求动点轨迹中的应用

随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.

类型一在几何问题中的应用

使用情景：题设中有“向量的数量积”“平行”即共线等求点的轨迹

解题步骤：

第一步将已知条件转化为向量的表示；

第二步利用平面向量的运算法则和平面向量的性质对其进行求解；

第三步得出结论.

【例】如图,过 $A(-1,0)$ ，斜率为 $k$ 的直线与抛物线 $C:y^2=4x$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，若曲线 $C$ 的焦点 $F$ 与 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 三点按图中顺序构成平行四边形，求点 $R$ 的轨迹方程。

【解析】

设 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 三点坐标分别为 $\left(\dfrac{1}{4}y_1^2,y_1\right)$ ， $\left(\dfrac{1}{4}y_2^2,y_2\right)$ ， $(x,y)$

则有 $\overrightarrow{AP}=\left(\dfrac{1}{4}y_1^2+1,y_1\right)$ ， $\overrightarrow{AQ}=\left(\dfrac{1}{4}y_2^2+1,y_2\right)$ ，

$\overrightarrow{FP}=\left(\dfrac{1}{4}y_1^2-1,y_1\right)$ ， $\overrightarrow{QR}=\left(x-\dfrac{1}{4}y_2^2,y-y_2\right)$

由 $A$ 、 $P$ 、 $q$ 三点共线知： $\overrightarrow{AP}//\overrightarrow{AQ}$

$\therefore \left(\dfrac{1}{4}y_1^2+1\right)y_2=y_1\left(\dfrac{1}{4}y_2^2+1\right)$

$\therefore \dfrac{1}{4}y_1y_2(y_1-y_2)=y_1-y_2$

$\because y_1 \neq y_2$ ， $y_1y_2=4$ .

由四边形 $PFQR$ 为平行四边形可知： $\overrightarrow{FP}=\overrightarrow{QR}$

$\therefore \left(\dfrac{1}{4}y_1^2-1,y_1\right)=\left(x-\dfrac{1}{4}y_2^2,y-y_2\right)$

$\therefore x=\dfrac{1}{4}(y_1^2+y_2^2)-1=\dfrac{1}{4}\left[(y_1+y_2)^2-2y_1y_2\right]-1=\dfrac{1}{4}(y_1+y_2)^2-3$

$\because y=y_1+y_2$ ， $\therefore y^2=4x+12$

又 $x=\dfrac{1}{4}(y_1^2+y_2^2)-1>\dfrac{1}{4}y_1y_2-1=1$ .

所以点的方程是 $y^2=4x+12(x>1)$ .

【总结】本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解答，简单明快，容易接受.