一、概念：
连通图的生成树定义：所谓一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只足以构成一颗树的n-1条边。
连通图的生成树的度判断
1.图是连通图；
2.图中包含了N个顶点；
3.图中边的数量等于N-1条边。
最小生成树
含义：把构成连通网的最小代价的生成树称为最小生成树。
二、最小生成树-普里姆【Prim】算法
算法思路
1.定义2个数组；adjvex 用来保存相关顶点下标；lowcost保存顶点之前的权值；
2.初始化2个数组，从v0开始寻找最小生成树，默认v0是最小生成树上第一个顶点；
3.循环lowcost数组，根据权值，找到顶点k;
4.更新lowcost 数组；
5.循环所有顶点，找到与顶点k有关系的顶点，并更新lowcost数组与adjvex 数组；
注意
更新lowcost 数组与adjvex 数组的条件：
1.与顶点k之间有连接；
2.当前结点j 没有加入过最小生成树；
3.顶点k 与当前顶点j 之间的权值小于顶点j 与其他顶点k 之前的权值，则更新.
简单说就是要比较之前存储的值要小，则更新；
写这么多，来来来，上代码：
1.邻接矩阵图结构
typedef struct
{
int arc[MAXVEX][MAXVEX];//二维数组
int numVertexes; //点
int numEdges;//边
}MGraph;
2.初始化邻接矩阵图
void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{
int i, j;
/* printf("请输入边数和顶点数:"); */
G->numEdges=15;
G->numVertexes=9;
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
{
for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
if (i==j)
G->arc[i][j]=0;
else
G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
}
}
G->arc[0][1]=10;
G->arc[0][5]=11;
G->arc[1][2]=18;
G->arc[1][8]=12;
G->arc[1][6]=16;
G->arc[2][8]=8;
G->arc[2][3]=22;
G->arc[3][8]=21;
G->arc[3][6]=24;
G->arc[3][7]=16;
G->arc[3][4]=20;
G->arc[4][7]=7;
G->arc[4][5]=26;
G->arc[5][6]=17;
G->arc[6][7]=19;
for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
{
for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
{
G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
}
}
}
3.Prim算法生成最小生成树
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
int min, i, j, k;
int sum = 0;
/* 保存相关顶点下标 */
int adjvex[MAXVEX];
/* 保存相关顶点间边的权值 */
int lowcost[MAXVEX];
/* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
/* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
lowcost[0] = 0;
/* 初始化第一个顶点下标为0 */
adjvex[0] = 0;
//1. 初始化
for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
{
lowcost[i] = G.arc[0][i]; /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
adjvex[i] = 0; /* 初始化都为v0的下标 */
}
//2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
{
/* 初始化最小权值为∞， */
/* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
min = INFINITYC;
j = 1;k = 0;
while(j < G.numVertexes) /* 循环全部顶点 */
{
/* 如果权值不为0且权值小于min */
if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)
{
/* 则让当前权值成为最小值,更新min */
min = lowcost[j];
/* 将当前最小值的下标存入k */
k = j;
}
j++;
}
/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
/* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
lowcost[k] = 0;
/* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
1. 与顶点k 之间连接;
2. 该结点没有被加入到生成树;
3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
*/
for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
{
/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
{
/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
lowcost[j] = G.arc[k][j];
/* 将下标为k的顶点存入adjvex */
adjvex[j] = k;
}
}
}
printf("sum = %d\n",sum);
}
4.输出如下：
最小生成树_Prim算法:
(V0, V1)=10
(V0, V5)=11
(V1, V8)=12
(V8, V2)=8
(V1, V6)=16
(V6, V7)=19
(V7, V4)=7
(V7, V3)=16
sum = 99
最小生成树-克鲁斯卡尔【Kruskal】算法
算法思路
- 将邻接矩阵 转化成 边表数组;
- 对边表数组根据权值按照从⼩小到⼤大的顺序排序;
- 遍历所有的边, 通过parent 数组找到边的连接信息; 避免闭环问题;
- 如果不不存在闭环问题,则加⼊入到最⼩小⽣生成树中. 并且修改parent 数组；
上代码，上代码，上代码
1.边表结构
typedef struct
{
int begin; //起点
int end;//终点
int weight;//权值
}Edge ;
2.图的邻接矩阵初始如上（不再重复添加）
3.生成最小生成树
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
int i, j, n, m;
int sum = 0;
int k = 0;
/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路
用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
int parent[MAXVEX];
/* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
Edge edges[MAXEDGE];
/*1. 用来构建边集数组*/
for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++)
{
for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
{
//如果当前路径权值 != ∞
if (G.arc[i][j]<INFINITYC)
{
//将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
edges[k].begin = i;
edges[k].end = j;
edges[k].weight = G.arc[i][j];
//边集数组计算器k++;
k++;
}
}
}
//2. 对边集数组排序
sort(edges, &G);
//3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;
// for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
parent[i] = 0;
//4. 计算最小生成树
printf("打印最小生成树：\n");
/* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
for (i = 0; i < G.numEdges; i++)
{
//获取begin,end 在parent 数组中的信息;
//如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
n = Find(parent,edges[i].begin);
m = Find(parent,edges[i].end);
//printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
/* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
if (n != m)
{
/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
/* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
parent[n] = m;
/*打印最小生成树路径*/
printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
sum += edges[i].weight;
}
}
printf("sum = %d\n",sum);
}
4.边表数据交换（交换权值以及头和尾）
void Swapn(Edge *edges,int i, int j)
{
int tempValue;
//交换edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
tempValue = edges[i].begin;
edges[i].begin = edges[j].begin;
edges[j].begin = tempValue;
//交换edges[i].end 和 edges[j].end 的值
tempValue = edges[i].end;
edges[i].end = edges[j].end;
edges[j].end = tempValue;
//交换edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
tempValue = edges[i].weight;
edges[i].weight = edges[j].weight;
edges[j].weight = tempValue;
}
5.对权值进行排序
void sort(Edge edges[],MGraph *G)
{
//对权值进行排序(从小到大)
int i, j;
for ( i = 0; i < G->numEdges; i++)
{
for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
{
if (edges[i].weight > edges[j].weight)
{
Swapn(edges, i, j);
}
}
}
printf("边集数组根据权值排序之后的为:\n");
for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
{
printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
}
}
6.查找连线顶点的尾部下标
//根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断2点之间是否存在闭环问题;
int Find(int *parent, int f)
{
while ( parent[f] > 0)
{
f = parent[f];
}
return f;
}
7.最小生成树_Kruskal算法输出
边集数组根据权值排序之后的为:
(4, 7) 7
(2, 8) 8
(0, 1) 10
(0, 5) 11
(1, 8) 12
(3, 7) 16
(1, 6) 16
(5, 6) 17
(1, 2) 18
(6, 7) 19
(3, 4) 20
(3, 8) 21
(2, 3) 22
(3, 6) 24
(4, 5) 26
打印最小生成树：
(4, 7) 7
(2, 8) 8
(0, 1) 10
(0, 5) 11
(1, 8) 12
(3, 7) 16
(1, 6) 16
(6, 7) 19
sum = 99
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