图的应用-最小生成树

最小生成树

连通图的生成树定义

  所谓⼀个连通图的⽣成树是⼀个极⼩的连通⼦图,它含有图中全部的n个顶点,但只足以构成⼀颗树的n-1条边。

最小生成树

  把构成连通⽹的最⼩代价的生成树称为最⼩⽣成树。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

普里姆(Prim)算法

算法简述

1. 输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2. 初始化：= {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），= {},为空；
3. 重复下列操作，直到= V：
   • 在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合中的元素，而v不在集合当中，（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
   • 将v加入集合中，将<u, v>的边加入集合中；
4. 输出：使用集合和来描述所得到的最小生成树。

算法思路

1. 定义2个数组; adjvex ⽤来保存相关顶点下标; lowcost 保存顶点之间的权值；
2. 初始化2个数组, 从v0开始寻找最小⽣成树, 默认v0是最小⽣成树上第⼀一个顶点 ;
3. 循环lowcost 数组,根据权值,找到顶点 k;
4. 更新lowcost 数组,
5. 循环所有顶点,找到与顶点k有关系的顶点,更新lowcost 数组与adjvex 数组, 条件:
   • 与顶点k之间有连接
   • 当前结点 j 没有加⼊过最⼩生成树;
   • 顶点 k 与 当前顶点 j 之间的权值小于顶点j与其他顶点 k 之前的权值. 则更新.

代码实现

/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
   int min,i,j,k;
   int sum = 0;

   int adjvex[MAXVEX];
   int lowcost[MAXVEX];

   //初始化
   // v0 已经加入最小生成树， 0表示当前结点已经加入最小生成树
   lowcost[0] = 0;
   adjvex[0] = 0;

   for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)
   {
       lowcost[i] = G.arc[0][i];
       adjvex[i] = 0;
   }

   for (i = 1;i < G.numVertexes;i++){

        min = INFINITYC;

        j = 1; k = 0;

        while (j < G.numVertexes){
            //未加入最小生成树
            if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
            {
                min = lowcost[j];
                k = j;
            }
            j++;
        }
        printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);

        sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
        
        /* 将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
        lowcost[k] = 0;

         for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            /* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                /* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                adjvex[j] = k;
            }
        }
        
   }
   printf("sum = %d\n",sum);
}

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

算法简述

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，

1. 先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。
2. 从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图；
3. 反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。
4. 依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

算法思路

1. 将邻接矩阵转化成边表数组;
2. 对边表数组根据权值按照从小到大的顺序排序;
3. 遍历所有的边, 通过parent数组找到边的连接信息; 避免闭环问题;
4. 如果不存在闭环问题,则加⼊到最小生成树中，并且修改parent数组。

代码实现

/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int sum = 0;
    int k = 0;
    /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路
     用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
    
    int parent[MAXVEX];
    /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
    Edge edges[MAXEDGE];
    
    /*1. 用来构建边集数组*/
    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++)
    {
        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            //如果当前路径权值 != ∞
            if (G.arc[i][j]<INFINITYC)
            {
                //将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                
                //边集数组计算器k++;
                k++;
            }
        }
    }
    
    //2. 对边集数组排序
    sort(edges, &G);
    
    
    //3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;
    // for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
    for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
        parent[i] = 0;
    
    //4. 计算最小生成树
    printf("打印最小生成树：\n");
    /* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
    for (i = 0; i < G.numEdges; i++)
    {
        //获取begin,end 在parent 数组中的信息;
        //如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
        n = Find(parent,edges[i].begin);
        m = Find(parent,edges[i].end);
        //printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
        
        /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
        if (n != m)
        {
            /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
            /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
            parent[n] = m;
            
            /*打印最小生成树路径*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
            sum += edges[i].weight;
        }
    }
    
    printf("sum = %d\n",sum);
}