tarjan算法

tarjan算法前提

• 一个关于图的联通性的神奇算法。基于DFS（深度搜索）算法，深度优先搜索一张有向图。！注意！是有向图。根据树，堆栈，打标记等种种方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性则很难这样实现。

• 强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

• 强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通(任意两点都可以相互到达)，我们就叫这个图，强连通图。

• 强连通分量(strongly connected components)：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量 ［分量：：把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量

  
  
  

  其中在此有向图中1，2，3构成的子图就是一个强连通分量

tarjan算法

tarjan算法，之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。

1. DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是 第几个被搜索到的。每个点的时间戳都不一样。
2. LOW［］作为每个点在这颗树中的，最小的子树的根，每次保证最小，like它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW［］最小，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量子树的根节点。

其中每次找到一个新点，这个点LOW［］＝DFN［］。

tarjan实现代码

tarjan(u){

　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值

　　Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中

　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边

　　　　if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过

　　　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])

　　　　else if (v in S) // 如果节点u还在栈内

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根

　　repeat v = S.pop  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

　　print v

　　until (u== v)

}

如图(结合伪代码)：

从1进入 DFN［1］＝LOW［1］＝ ＋＋index －－－－1
入栈 1
由1进入2 DFN［2］＝LOW［2］＝ ＋＋index －－－－2
入栈 1 2
之后由2进入3 DFN［3］＝LOW［3］＝ ＋＋index －－－－3
入栈 1 2 3
之后由3进入 6 DFN［6］＝LOW［6］＝＋＋index －－－－4
入栈 1 2 3 6

发现6无出度，判断DFN［6］＝＝LOW［6］；
说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点 出栈。
栈： 1 2 3
之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW［3］还是 3
节点3 也没有再能延伸的边了，判断 DFN［3］＝＝LOW［3］
说明3是个强连通分量的根节点：3及3以后的点 出栈。
栈： 1 2
节点2有分支
DFN［5］＝LOW［5］＝ ＋＋index －－－－－5
入栈 1 2 5
结点5 往下找，发现节点6 DFN［6］有值，被访问过。就不管它。
继续 5往下找，找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN［1］被访问过并且还在栈中，说明1还在这个强连通分量中，值得发现。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1])
确定关系，在这棵强连通分量树中，5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。
LOW［5］＝ 1
由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])
LOW［2］＝1；
由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2])
LOW［1］还是 1
1还有边没有走过。发现节点4，访问节点4
DFN［4］＝LOW［4］＝＋＋index －－－－6
入栈 1 2 5 4
由节点4，走到5，发现5被访问过了，5还在栈里，
Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW［4］＝5
说明4是5的一个子节点。
由4回到1
回到1，判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW［1］还是 1 。
判断 LOW［1］ ＝＝ DFN［1］
相等了 说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。

tarjan调用

tarjan的调用最好在循环里解决
如果这个点没有被访问过，那么就从这个点开始tarjan一遍。
因为这样好让每个点都被访问到。