椭圆

作者: 阿咚老师 | 来源:发表于2018-09-09 15:23 被阅读0次

一.椭圆及其标准方程

题型一:椭圆的定义

已知 $\triangle ABC$ 的顶点 $Ｂ,C$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{3} +y^{2} =1$ 上,顶点 $A$ 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 $BC$ 上,则 $\triangle ABC$ 的周长是___________.
方程 $\sqrt{x^{2} +( y+3)^{2}} +\sqrt{x^{2} +( y-3)^{2}} =10$ 表示的图形是___________.
方程 $\sqrt{x^{2} +( y+3)^{2}} +\sqrt{x^{2} +( y-3)^{2}} =6$ 表示的图形是___________.
已知圆 $O$ 的半径为定长 $r$ , $A$ 是圆 $O$ 内一个定点, $P$ 是圆上任意一点,线段 $AP$ 的垂直平分线 $l$ 和半径 $OP$ 相交于点 $Q$ ,当点 $P$ 在圆上运动时,点 $Q$ 的轨迹是___________.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a. >b >0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ,F_{2}$ , $P$ 是椭圆上的一个动点,如果 $M$ 是线段 $F_{1} P$ 的中点,则动点 $M$ 的轨迹是___________.
A.椭圆
B.圆
C.直线
D.抛物线

题型二:椭圆的标准方程的相关概念

椭圆 $\frac{x^{2}}{16} +\frac{y^{2}}{9} =1$ 的焦距是___________,焦点坐标是___________.
$mx^{2} +ny^{2} =-mn( m< n< 0)$ 的焦点坐标___________.
已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{8} +\frac{y^{2}}{m^{2}} =1$ ,焦点在 $x$ 轴上,则其焦距为___________.
若椭圆 $\frac{x^{2}}{100} +\frac{y^{2}}{36} =1$ 上一点P到焦点 $F_{1}$ 的距离等于 $6$ ,则点 $P$ 到另一个焦点 $F_{2}$ 的距离是___________.
方程 $\frac{x^{2}}{2m} -\frac{y^{2}}{m-1} =1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆,则 $m$ 的取值范围是___________.
设 $\alpha \in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right)$ ,方程 $\frac{x^{2}}{\sin \alpha } +\frac{y^{2}}{\cos \alpha } =1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆,则 $\alpha$ 的取值范围___________.

题型三:求椭圆的标准方程

已知两个定点 $F_{1}\left( -\text{4,} 0\right)$ , $F_{2}\left(\text{4,} 0\right)$ .
（1） $| MF_{1}| +| MF_{2}| =8$ ,则点 $M$ 的轨迹方程是___________.
（2） $| MF_{1}| +| MF_{2}| =10$ ,则点 $M$ 的轨迹方程是___________.
两焦点分别为 $F_{1}\left(\text{0,} -2\right)$ , $F_{2}\left(\text{0,} 2\right)$ ,且经过点 $\left( -\frac{3}{2} ,\frac{5}{2}\right)$ 的椭圆方程是___________.
焦点在 $x$ 轴上,且经过点 $(2,0)$ 和点 $(0,1)$ .的椭圆的标准方程是___________.
$a=\text{6,} c=1$ ,焦点在 $y$ 轴上的椭圆的标准方程是___________.
设某椭圆的中心在原点,焦距为 $18$ ,两焦点恰好将长轴三等分,求此椭圆标准方程.
求过点 $(3,-2)$ 且与椭圆 $4x^{2} +9y^{2} -36=0$ 有相同焦点椭圆方程.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{m} +\frac{y^{2}}{n} =1( m >n >0)$ 上一点 $P(6,8)$ , $F_{1} ,F_{2}$ 为椭,圆的两个焦点,且 $PF_{1} \bot PF_{2}$ ,求此椭圆方程.
已知:两圆 $C_{1} :( x-4)^{2} +y^{2} =169$ , $C_{2} :( x+4)^{2} +y^{2} =9$ 动圆在圆 $C$ 内部且和圆 $C_{1}$ 内切和圆 $C_{2}$ 外切,求动圆圆心轨迹.
已知 $B,C$ 是两个定点, $|BC|$ ＝6,且 $\Delta ABC$ 的周长等于 $16$ ,求顶点 $A$ 的轨迹方程.
在 $\vartriangle ABC$ 中, $BC=24$ , $AC$ , $AB$ 的两条中线之和为 $39$ ,求 $\vartriangle ABC$ 的重心轨迹方程.
$\vartriangle ABC$ 的两个顶点 $A,B$ 的坐标分别是 $\left( -\text{6,} 0\right)$ , $\left(\text{6,} 0\right)$ ,边 $AC$ , $BC$ 所在直线的斜率之积等于 $-\frac{4}{9}$ ,求顶点 $C$ 的轨迹方程.
点 $P$ 与一定点 $F(2,0)$ 的距离和它到一定直线 $x=8$ 的距离的比是 $1∶2$ ,求点 $P$ 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形．

二.椭圆的几何性质

题型一:对称性

已知 $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆的两个焦点,过 $F_{1}$ 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 $A,B$ 两点,若 $\vartriangle ABF_{2}$ 是正三角形,则这个椭圆的离心率是___________.
椭圆 $\frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{16} =1$ 的内接正方形的周长___________.
椭圆 $x^{2} +2y^{2} =1$ 的内接正三角形 $ABC$ ,若点 $A$ 是 $(1,0)$ ,则三角形 $ABC$ 的边长___________.
把椭圆 $\frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{16} =1$ 的长期轴分成 $8$ 等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 $P_{1} ,P_{2} ,P_{3} ,\cdots ,P_{7}$ 7个点, $F$ 是椭圆的一个焦点,则 $| PF_{1}| +| PF_{2}| +\cdots +| PF_{7}| =$ ___________.

题型二:焦点三角形

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} +\frac{y^{2}}{9} =1$ 的左右焦点为 $F_{1} ,F_{2}$ ,P在椭圆上,且 $PF_{1} \bot PF_{2}$ ,则 $\displaystyle P$ 到 $\displaystyle x$ 轴的距离为___________.
$\displaystyle M$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} +\frac{y^{2}}{16} =1$ 上的动点, $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆的焦点,则 $| MF_{1}| \cdot | MF_{2}|$ 的最大值为___________.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 内一点 $\displaystyle A$ , $F_{1}$ 为左焦点,在椭圆上求一点P,使 $| PF_{1}| +| PA|$ 取得最值.
设 $F$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{7} +\frac{y^{2}}{6} =1$ 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点 $P_{\text{i}}\left( i=\text{1,2,} 3...\right)$ ,使 $|FP_{1} ||FP_{2} ||FP_{3} |...$ 组成公差为 $d$ 的等差数列,则 $d$ 的取值范围为___________.
$P$ 为椭圆 $9x^{2} +25y^{2} =225$ 上一点, $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆的两个焦点, $\angle F_{1} PF_{2} =60^{\degree }$ , $S_{\vartriangle F_{1} PF_{2}} =$ ___________.
设 $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆的两个焦点,,若椭圆上存在点 $P$ ,使 $\angle F_{1} PF_{2} =120^{\degree }$ ,则椭圆的离心率 $e$ 的取值范围是___________.
椭圆 $\frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{4} =1$ 的焦点为 $F_{1} ,F_{2}$ ,点 $P$ 为其上的动点. $\cos \angle F_{1} PF_{2}$ 的最小值为___________;当 $\angle F_{1} PF_{2}$ 为钝角时,点 $P$ 横坐标的取值范围___________; $\angle F_{1} PF_{2} =60^{\degree }$ , $S_{\vartriangle F_{1} PF_{2}} =$ ___________.
设 $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆 $C:\frac{x^{2}}{8} +\frac{y^{2}}{4} =1$ 的焦点,在 $C$ 上满足 $PF_{1} \bot PF_{2}$ 的点 $P$ 的个数为___________.
椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 上对两焦点张角为 $90^{\degree }$ 的点可能有___________.
A.4个
B.2个或4个
C.0个或2个或4个
D.以上都不对
设 $F_{1}( -c,0) ,F_{2}( c,0)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的两个焦点, $P$ 是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的与椭圆的一个交点,若 $\angle PF_{1} F_{2} =5\angle PF_{2} F_{1}$ ,则椭圆的离心率为___________.

题型三:离心率

若椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,求其离心率___________.
直线 $y=\frac{\sqrt{2}}{2} x$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的两个交点在 $x$ 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点,求该椭圆的离心率___________.
设 $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆两个焦点,以 $F_{2}$ 为圆心且过中心的圆与椭圆的一个交点为 $M$ ,若 $F_{1} M$ 与圆 $F_{2}$ 相切,求椭圆的离心率___________.
椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的两焦点为 $F_{1} F_{2}$ ,以 $F_{1} F_{2}$ 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为___________.
已知 $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆的两个焦点,过 $F_{2}$ 的直线交椭圆与 $P,Q$ 两点,若 $PF_{1} \bot PQ,|PF_{1} |=|PQ|$ 求椭圆的离心率___________.
过椭圆的左焦点 $F$ 且倾斜角为 $60^{\degree }$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点,若 $| FA| =2| FB|$ 求椭圆的离心率___________.
已知 $F_{1}$ 为椭圆的左焦点, $A,B$ 分别为椭圆的右顶点和上顶点, $P$ 为椭圆上的点,当 $PF_{1} \bot F_{1} A$ , $PO//AB$ 时,求椭圆的离心率___________.
已知 $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆的两个焦点,过 $F_{1}$ 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若 $\vartriangle ABF_{2}$ 是正三角形,则这个椭圆的离心率是___________.
直线 $y=\frac{\sqrt{2}}{2} x$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的两个交点在 $\displaystyle x$ 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点,求该椭圆的离心率___________.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的左焦点为 $\displaystyle F$ ,右顶点为 $\displaystyle A$ ,点 $\displaystyle B$ 在椭圆上,且 $BF\bot x$ 轴,直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ,若 $\overrightarrow{AP} =2\overrightarrow{PB}$ ,则椭圆的离心率___________.
椭圆 $\frac{x^{2}}{5a} +\frac{y^{2}}{4a^{2} +1} =1$ 的焦点在 $x$ 轴上,求它的离心率的取值范围.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}( -c,0) ,F_{2}( c,0)$ 若椭圆上存在点 $P$ 使 $\frac{a}{\sin \angle PF_{1} F_{2}} =\frac{c}{\sin \angle PF_{2} F_{1}}$ 则该椭圆的离心率的取值范___________.
已知 $F_{1} ,F_{2}$ 是椭圆的两个焦点,满足 $\overrightarrow{MF_{1}} \cdot \overrightarrow{MF}_{2} =0$ 的点总在椭圆内,求离心率的取值范围.
知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 与直线 $x+y-1=0$ 交于 $M,N$ 两点,且 $OM\bot ON$ , $O$ 为原点,椭圆的离心率在 $\left[\frac{\sqrt{3}}{3} ,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ 范围内变化时,求椭圆长轴的取值范围.

三.直线与椭圆的位置关系

题型一:弦长,面积问题

经过椭圆 $\frac{x^{2}}{2} +y^{2} =1$ 的左焦点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $60^{\degree }$ 的直线 $l$ ,直线 $l$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点,求弦长 $AB$ .
斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} +y^{2} =1$ 相交于 $A,B$ 两点,求 $|AB|$ 的最大值.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ ,直线 $l_{1} :\frac{x}{a} -\frac{y}{b} =1$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $2\sqrt{2}$ ,过椭圆的右焦点且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l_{2}$ 被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的 $\displaystyle \frac{2}{5}$ ,求椭圆方程.
已知椭圆的中心在坐标原点 $O$ ,焦点在坐标轴上,直线 $y=x+1$ 与椭圆交于 $P$ 和 $Q$ ,且 $OP\bot OQ$ , $| PQ| =\frac{\sqrt{10}}{2}$ ,求椭圆的标准方程.
已知椭圆 $C:\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ,短轴一个端点到右焦点的距离为 $\sqrt{3}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程;
（2）设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A、B$ 两点,坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,求 $\vartriangle AOB$ 面积的最大值.

题型二:与向量有关的问题

已知直线 $y=x-1$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{m} +\frac{y^{2}}{m-1} =1( m >1)$ 交于 $A,B$ ,若以 $AB$ 为直径的圆过椭圆的左焦点 $F$ ,求实数 $m$ 的值.
中心在坐标原点,焦点在 $x$ 轴上的椭圆,它的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,与直线 $x+y－1=0$ 相交于 $M,N$ 两点,若以 $MN$ 为直径的圆经过坐标原点,求椭圆方程.
已知椭圆 $C:\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 上的点到焦点距离的最大值为 $3$ ,最小值为 $1$ .
（1）求椭圆方程.
（2）若直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点( $A,B$ 不是左右焦点),以 $\displaystyle AB$ 为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线 $l$ 过定点,并求定点坐标.
已知椭圆的一个顶点 $P\left(\text{0,} -1\right)$ ,焦点在 $x$ 轴上,若右焦点到直线的距离为 $3$ .
（1）求椭圆方程.
（2）若直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点,当 $AP=BP$ 时,求 $m$ 的取值范围.
在平面直角坐标系 $xOy$ 中,经过点 $\left( 0\sqrt{2}\right)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} +y^{2} =1$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$ .
（1）求 $k$ 的取值范围;
（2）设椭圆与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $AB$ ,是否存在常数 $k$ ,使得向量 $\overrightarrow{OP} +\overrightarrow{OQ}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线？如果存在,求 $k$ 值;如果不存在,请说明理由．
已知椭圆的中心在原点,焦点在 $x$ 轴上,长轴长是短轴长的 $2$ 倍,且经过点 $M\left(\text{2,} 1\right)$ ,直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $m( m\neq 0)$ ,且直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两个不同的点,存在不为 $0$ 的实数 $\lambda$ ,使 $\overrightarrow{AB} =\lambda \overrightarrow{OM}$ .
（1）求椭圆方程;
（2）求 $m$ 的取值范围;
（3）求证:直线 $MA$ , $MB$ 与 $x$ 轴始终围成一个等腰三角形.
设 $F_{1} ,F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} +y^{2} =1$ 的左右焦点.
（1）若 $P$ 是该椭圆上的一个动点,求 $\overrightarrow{PF_{1}} \cdot \overrightarrow{PF_{2}}$ 的最大值和最小值;
（2）设过定点 $M\left(\text{0,} 2\right)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于不同的两点 $A,B$ ,且 $\angle AOB$ 为锐角(其中 $O$ 为坐标原点),求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.
已知椭圆 $C:\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ,直线 $l:y=x+2$ 与以原点为圆心,椭圆 $C$ 的短半轴长为半径的圆 $O$ 相切.
（1）求椭圆 $C$ 的方程;
（2）过椭圆 $C$ 的左顶点 $A$ 作直线 $m$ ,与圆 $O$ 相交于两点 $R,S$ ,若 $\vartriangle ORS$ 为钝角三角形,求直线 $m$ 的斜率 $k$ 的取值范围.
已知点 $A\left(\text{1,} 0\right)$ ,椭圆 $C:\frac{x^{2}}{4} +\frac{y^{2}}{3} =1$ ,过点 $A$ 作直线交椭圆 $C$ 于 $P,Q$ 两点, $\overrightarrow{AP} =2\overrightarrow{QA}$ ,求直线 $PQ$ 的斜率.
设椭圆中心在坐标原点, $A\left(\text{2,} 0\right)$ , $B\left(\text{0,} 1\right)$ 是它的两个顶点,直线 $y=kx( k >0)$ 与 $AB$ 相交于点 $D$ ,与椭圆交于 $E,F$ 两点.
（1）若 $\overrightarrow{ED} =6\overrightarrow{DF}$ ,求 $k$ 的值;
（2）求四边形 $AEBF$ 面积的最大值.
设椭圆 $C:\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的左焦点为 $F$ ,过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点,直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\degree }$ , $\overrightarrow{AF} =2\overrightarrow{FB}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的离心率;
（2）如果 $| AB| =\frac{15}{4}$ ,求椭圆 $C$ 的方程.

题型三:与弦中点有关的问题

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} +y^{2} =1$ .
（1）求过点 $P\left(\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}\right)$ 且被 $P$ 平分的弦所在直线的方程;
（2）求斜率为 $2$ 的平行弦的中点的轨迹方程;
（3）过 $A\left(\text{2,} 1\right)$ 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.
椭圆 $4x^{2} +9y^{2} =144$ 内有一点 $P\left(\text{3,} 2\right)$ ,过 $P$ 点的弦 $AB$ 恰为以 $P$ 为中点.求:
（1）此弦 $AB$ 所在直线方程;
（2）弦 $AB$ 的长.
椭圆 $ax^{2} +by^{2} =1$ 与直线 $x+y＝1$ 相交于 $A,B$ 两点, $AB$ 的中点 $C$ 与椭圆中心连线的斜率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求椭圆的离心率;
（2）若 $| AB| =2\sqrt{2}$ ,求椭圆方程.
已知椭圆 $C:x^{2} +\frac{y^{2}}{4} =1$ ,点 $M\left(\text{0,} 1\right) ,N\left(\frac{1}{2} ,\frac{1}{2}\right)$ ,直线 $l$ 过点 $M$ ,且与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点, $O$ 为坐标原点, $\overrightarrow{OP} =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right)$ ,当直线 $l$ 绕点 $M$ 旋转时,求:
（1）点 $P$ 的轨迹方程;
（2） $\left| \overrightarrow{NP}\right|$ 的最大值,最小值.

题型四:对称问题

求 $m$ 的取值范围,使得椭圆 $\frac{x^{2}}{4} +\frac{y^{2}}{3} =1$ 上有不同的两点关于直线 $y=4x+m$ 对称.
已知椭圆 $E$ 经过点 $A\left(\text{2,} 3\right)$ ,对称轴为坐标轴,焦点 $F_{1} ,F_{2}$ 在 $x$ 轴上,离心率为 $\frac{1}{2}$ .
（1）求椭圆 $E$ 的方程;
（2）求 $\angle F_{1} AF_{2}$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程;
（3）在椭圆 $E$ 上是否存在关于直线 $l$ 对称的相异两点？若存在,请找出两点;若不存在,说明理由.

四.椭圆综合应用

题型一:数形结合求最值

$F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{5} =1$ 的左焦点, $P$ 是椭圆上的动点, $A\left(\text{1,} 1\right)$ 为定点,则 $|PA|+|PF_{1} |$ 的最小值是___________,最大值是___________.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 内一点 $A$ , $F_{1}$ 为左焦点,在椭圆上求一点 $P$ ,使 $| PF_{1}| +| PA|$ 取得最值.
点 $P( x,y)$ 在椭圆 $4( x-2)^{2} +y^{2} =4$ 上,则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为___________.
若 $x,y\in R,$ 且 $3x^{2} +2y^{2} =\text{6,}$ 则 $x+y$ 的最大值是___________, $x^{2} +y^{2}$ 的最小值___________.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{5} =1$ 上有一点 $P( x,y) ,A\left(\text{1,} 1\right)$ , $F_{1} ,F_{2}$ 分别是椭圆的左右焦点.
（1）求 $3x+4y$ 的范围;
（2）求 $| PF_{1}|$ 的范围;
（3）求 $| PF_{1}| ^{2} +| PF_{2}| ^{2}$ 的范围;
（4）求 $| PF_{1}| +| PA|$ 的范围.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} +\frac{y^{2}}{5} =1$ 过它的左焦点的弦 $| AB| =\frac{10}{3}$ 的直线有___________条; 过左焦点的弦 $| AB| =6$ 有___________条; 过左焦点的弦 $| AB| =5$ 有___________条; 过左焦点的弦 $| AB| =12$ 有___________条; 过左焦点的弦 $| AB| =3$ 有___________条.
在直线 $l:x-y+9=0$ 上任取一点 $P$ ,过 $P$ 点以椭圆 $\frac{x^{2}}{12} +\frac{y^{2}}{3} =1$ 的焦点为焦点作椭圆. $P$ 点在何处时,所求椭圆的长轴最短?求此时椭圆的方程.

题型二:函数思想求最值

为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$ 的右焦点,椭圆上的点与点 $F$ 的距离的最大值为 $M$ ,最小值为 $m$ ,则椭圆上与点 $F$ 的距离是 $\frac{1}{2}( M+m)$ 的点是___________.
直线 $y=kx+1$ ,当 $k$ 变化时,此直线被椭圆 $\frac{x^{2}}{4} +y^{2} =1$ 截得的最大弦长是___________.
已知椭圆的焦点是 $F_{1}\left( -\sqrt{3} ,0\right) ,F_{2}\left(\sqrt{3} ,0\right)$ ,离心率为 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
（1）求椭圆上的点到直线 $2x+3y+8=0$ 的距离的最大值.
（2） $P$ 在椭圆上, $\overrightarrow{PF_{1}} \cdot \overrightarrow{PF_{2}} =\frac{2}{3}$ ,求 $\vartriangle PF_{1} F_{2}$ 的面积.
设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} +y^{2} =1( a >1)$ 短轴的一个端点, $Q$ 为椭圆上的一个动点,求 $|PQ|$ 的最大值.

题型三:轨迹方程

已知 $A\left( -\frac{1}{2} ,0\right)$ , $B$ 是圆 $F:\left( x-\frac{1}{2}\right)^{2} +y^{2} =4$ ( $F$ 为圆心)动点,线段 $AB$ 的垂直平分线交 $BF$ 于 $P$ ,求动点 $P$ 的轨迹方程.
已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $xOy$ 的原点,焦点在 $x$ 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 $7$ 和 $1$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程;
（2）若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点, $M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点, $\frac{| OP| }{| OM| } =e$ ,求点 $M$ 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
设动直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴,且与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} +\frac{y^{2}}{2} =1$ 交于 $AB$ 两点, $P$ 是 $l$ 上满足 $|PA|\cdot |PB|=1$ 的点,求 $P$ 点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形？
设过点 $P( x,y)$ 的直线分别与 $x$ 轴的正半轴和 $y$ 轴的正半轴交于 $A,B$ 两点,点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $y$ 轴对称, $O$ 为坐标原点,若 $\overrightarrow{BP} =2\overrightarrow{PA}$ ,且 $\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{AB} =1$ ,求点 $P$ 的轨迹方程.

题型四:范围问题

设椭圆 $x^{2} +2y^{2} =2$ ,则 $\frac{y}{x-2}$ 的取值范围是___________.
已知椭圆 $C:3x^{2} +4y^{2} =12$ ,试确定 $m$ 的取值范围,使得对于直线 $l:y=4x+m$ ,椭圆 $C$ 上有不同的两点关于这条直线对称.
设椭圆 $E:\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a,b >0)$ 过 $M\left(\text{2,}\sqrt{2}\right)$ , $N\left(\sqrt{6} ,1\right)$ 两点, $O$ 为坐标原点.
（1）求椭圆 $E$ 的方程;
（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 $E$ 恒有两个交点 $A,B$ ,且 $\overrightarrow{OA} \bot \overrightarrow{OB}$ ？若存在,写出该圆的方程,并求 $| AB|$ 的取值范围,若不存在说明理由.
设 $A,B$ 分别是直线 $y=\frac{2\sqrt{5}}{5} x$ 和 $y=-\frac{2\sqrt{5}}{5} x$ 上的两个动点,并且 $|\overrightarrow{AB} |=\sqrt{20}$ ,动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP} =\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}$ .记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .
（1）求轨迹 $C$ 的方程;
（2）若点 $D$ 的坐标为 $(0,16)$ , $M,N$ 是曲线 $C$ 上的两个动点,且 $\overrightarrow{DM} =\lambda \overrightarrow{DN}$ ,求实数 $\lambda$ 的取值范围.

题型五:定点与定值问题

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} +\frac{y^{2}}{9} =1$ 上三点 $A( x_{1} ,y_{1}) ,B\left(\text{4,} y_{2}\right) ,C( x_{3} ,y_{3})$ 和焦点 $F\left(\text{4,} 0\right)$ 的距离依次是等差数列.
（1）求 $x_{1} +x_{3}$ ;
（2）求证线段 $AC$ 的垂直平分线过定点,并求此定点的坐标.
已知椭圆的中心为坐标原点 $O$ ,焦点在 $x$ 轴上,斜率为 $1$ 且过椭圆右焦点 $F$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点, $\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}$ 与 $\vec{a} =\left(\text{3,} -1\right)$ 共线.
（1）求椭圆的离心率;
（2）设 $M$ 为椭圆上任意一点,且 $\overrightarrow{OM} =\lambda \overrightarrow{OA} +\mu \overrightarrow{OB} \ \ \ \ ( \lambda ,\mu \in R)$ ,证明 $\lambda ^{2} +\mu ^{2}$ 为定值.