哲哲的ML笔记（二十八：聚类——K-均值算法）

作者: 沿哲 | 来源:发表于2021-04-24 19:28 被阅读0次

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K-均值算法

K-均值是最普及的聚类算法，算法接受一个未标记的数据集，然后将数据聚类成不同的组
迭代思想
假设我们想要将数据聚类成 $K$ 个组，其方法为:

首先选择 $K$ 个随机的点，称为聚类中心（cluster centroids）；
对于数据集中的每一个数据，按照距离 $K$ 个中心点的距离，将其与距离最近的中心点关联起来，与同一个中心点关联的所有点聚成一类。
计算每一个组的平均值，将该组所关联的中心点移动到平均值的位置。
重复步骤2-4直至中心点不再变化

伪代码如下

Repeat {

for i = 1 to m

    c(i) := index (form 1 to K) of cluster centroid closest to x(i)

for k = 1 to K

    μk := average (mean) of points assigned to cluster k

}

第一个for循环对于每一个样例 $i$ ，计算其应该属于的类；
第二个for循环是聚类中心的移动，即：对于每一个类，重新计算该类的质心。

eg:
$c(3)=5$ , 代表样本 $x^{(3)}$ 属于 $cluster\; 5$ ；对于所有 $1,2,…,K$ , $k=5$ 能使得 $\|x^{(2)}-\mu_k\|^2$ 最小

例子

下图所示的数据集包含身高和体重两项特征构成的，利用K-均值算法将数据分为三类，用于帮助确定将要生产的T-恤衫的三种尺寸。

优化目标

参数介绍
$c^{(i)}$ : $x^{(i)}$ 距离最近的cluster的index值
$\mu_k$ : $cluster \;k$
$\mu_{c^{(i)}}$ : 与 $x^{(i)}$ 最近的聚类中心点
优化目标是最小化函数 $J$
$J(c^{(1)},c^{(2)},…,c^{(m)},\mu_1,…,\mu_K)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\|x^{(i)}-\mu_{c^{(i)}}\|^2$
结合伪代码中的两个for循环，第一个for循环是为减少 $c^i$ 引起的损失，第二个for循环是减少 $u_k$ 引起的cost

随机初始化

运行K-均值算法的之前，我们首先要随机初始化所有的聚类中心点：

我们应该选择 $K<m$ ，即聚类中心点的个数要小于所有训练集实例的数量
随机选择K个训练实例，然后令K个聚类中心分别与这K个训练实例相等

K-均值的一个问题在于，它有可能会停留在一个局部最小值处，而这取决于初始化的情况。
如下图，比较理想的聚类情况是最上面的；但是也会有下面不理想的两个图

为了解决这个问题，我们通常需要多次运行K-均值算法，每一次都重新进行随机初始化，最后再比较多次运行K-均值的结果，选择代价函数最小的结果。这种方法在

K

较小的时候（2--10）还是可行的，但是如果较大，这么做也可能不会有明显地改善。

选择聚类数

选择聚类数目的方法时，有一个可能会谈及的方法叫作“肘部法则”。关于“肘部法则”，我们所需要做的是改变 $K$ 值，也就是聚类类别数目的总数。我们用一个聚类来运行K均值聚类方法。这就意味着，所有的数据都会分到一个聚类里，然后计算成本函数或者计算畸变函数 $J$ 。

我们可能会得到一条类似于上图的曲线。像一个人的肘部。这就是“肘部法则”所做的，让我们来看这样一个图，看起来就好像有一个很清楚的肘。你会发现这种模式，它的畸变值会迅速下降，从1到2，从2到3之后，你会在3的时候达到一个肘点。在此之后，畸变值就下降的非常慢，看起来就像使用3个聚类来进行聚类是正确的，这是因为那个点是曲线的肘点，畸变值下降得很快，