牛顿对于微积分的证明

作者: haozhan | 来源:发表于2019-02-10 00:03 被阅读0次

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Chapter 1:牛顿的证明

牛顿在1665～1666年利用流数术（fluxion）来对微积分理论进行证明，该证明利用到了二项式定理（Binomial theorem），并因为其对流数的引用，早到了贝克莱（George Berkeley）的批评。证明过程如下：

如图所示，现有一非常值函数:
$\left(1.1\right): y=f\left(x\right)=ax^{\frac{m}{n}}$
$f\left(A\right)$ 与X轴构成的面积 $S_{0Ay}$ 为 $Z\left(x\right)$ ，则根据微积分知识，我们可知：
$\left(1.2\right):Z\left(x\right)=\int_{0}^{A} f\left(x\right)\, dx=\frac{an}{m+n}X^{\frac{m+n}{n}}$
而牛则是从 $Z\left(x\right)$ 的结果出发，逆推出 $f\left(x\right)$ ，从而证明微积分算法。

Fig.1 证明用图

需要通过（2）来证明（1），即在已知（2）的情况下推导出（1）。

首先构造矩形 $AA^{\prime}HK$ ,其中 $o=A^{\prime}-A$ （这个 $o$ 就被称为流数），使得 $\int_{A}^{A{\prime}} f\left(x\right)\, dx=S_{AA^{\prime}HK}$ 。

根据（2）则有：
$\left(1.3\right):\int_{0}^{A{\prime}} f\left(x\right)\, dx=Z\left(x+o\right)=Z\left(x\right)+S_{AA^{\prime}HK}$

令 $V=f\left(A^\prime\right)$ 则有，
$\left(1.4\right):S_{AA^{\prime}HK}=oV$

根据（3），（4）有，
$Z\left(x+o\right)=Z\left(x\right)+S_{AA^{\prime}HK}$

$\left(1.5\right):\frac{an}{m+n}{\left(X+o\right)}^{\frac{m+n}{n}}=Z\left(x\right)+oV$

在（5）两边同时取 $n$ 次方，
$\left(1.6\right):{\left(\frac{an}{m+n}\right)}^n{\left(X+o\right)}^{m+n}={\left(Z\left(x\right)+oV\right)}^n$

利用二项式公式，展开（6），

$\left(1.7\right):{\left(\frac{an}{m+n}\right)}^n\left[ C^{0}_{m+n}X^{m+n}+ C^{1}_{m+n}X^{m+n-1}o+C^{2}_{m+n}X^{m+n-2}o^2+..\right]=C^{0}_{n}{Z\left(x\right)}^n+C^{1}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-1}oV+C^{2}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-2}{\left(oV\right)}^2+..$

由于，
${\left(\frac{an}{m+n}\right)}^n\left(C^{0}_{m+n}X^{m+n}\right)=C^{0}_{n}{Z\left(x\right)}^n$

同时约去，得，

$\left(1.8\right):C^{1}_{m+n}X^{m+n-1}o+C^{2}_{m+n}X^{m+n-2}o^2+..=C^{1}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-1}oV+C^{2}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-2}{\left(oV\right)}^2+..$

此时，将 $o$ 看作不等于零的数，即 $o\ne0$ ，则可以在(8)两边同时除以一个 $o$ ，则有，

$\left(1.9\right):C^{1}_{m+n}X^{m+n-1}+C^{2}_{m+n}X^{m+n-2}o+..=C^{1}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-1}V+C^{2}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-2}oV^2+..$

此时，让 $A^{\prime}\to A$ ，即 $o=0$ ，此时 $V \to y$ ，得，

$\left(1.10\right):C^{1}_{m+n}X^{m+n-1}+=C^{1}_{n}{Z\left(x\right)}^{n-1}y$

整理，得，

$\left(1.11\right):y=f\left(x\right)=ax^{\frac{m}{n}}$

QED.

证明之后牛顿说，当有一函数 $f\left(x\right)=ax^{\frac{m}{n}}$ ，其围成的面积则为 $\frac{an}{m+n}X^{\frac{m+n}{n}}$ . 但是在文献中没有对这一说法给出具体的证明方法。

贝克莱所批判的点就在于流数 $o$ 在（9）式中被看作 $o\ne0$ ，而在（10）式中被看作 $o=0$ ，因此贝称其为“消失的幽灵”。

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