【科普】量子计算通识-2

作者: zhyuzh3d | 来源:发表于2019-07-11 11:15 被阅读15次

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以下内容参照微软研究院主题演讲《Quantum Computing for Computer Scientists（计算机科学家量子计算导读）》的结构进行整理和扩充的。
本篇是第二部分。上一篇【科普】量子计算通识-1

经典比特位的四种操作

一个比特位即0或1，代表了两种可能中确定的一种。

我们对于一个比特位仅有四种操作方法：

$f(x)=x$

Identity，恒等，即不变，不操作。原来是0结果就是0，原来是1结果也还是1。或者说是乘以标准单位。
对于|0>和|1>这样的向量位表示，我们可以乘以单位矩阵：
$\begin{pmatrix}1,0\\0,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0 \qquad \begin{pmatrix}1,0\\0,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=1$

$f(x)=﹁x$

Negation,翻转，乘以。原来是0结果就是1，原来是1结果也还是0。或者说是乘以翻转单位，这在矩阵中就是一个右上角到左下角的单位翻转矩阵：

$\begin{pmatrix}0,1\\1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=1 \qquad \begin{pmatrix}0,1\\1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0$

$f(x)=0$

Constant-0，固定等于0，或者说强制设置为0，不管你原来是0还是1，操作之后都是0。
这样可以用矩阵表示，结果第一项取被乘数两项之和，因为两项必然有一个是1所以结果第一项是1；而结果第二项什么都不取，直接是0：
$\begin{pmatrix}1,1\\0,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0 \qquad \begin{pmatrix}1,1\\0,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0$

$f(x)=1$

Constant-1，固定等于1，或者说强制设置为1，不管你原来是0还是1，操作之后都是1。
这样可以用矩阵表示，结果第二项取被乘数两项之和，因为两项必然有一个是1所以结果第一项是1；而结果第一项什么都不取，直接是0：
$\begin{pmatrix}0,0\\1,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=1 \qquad \begin{pmatrix}0,0\\1,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=1$

可逆性Reversible

不变，翻转，等0，等1。
在这四种运算中，前两个是可逆的，而后两者是不可逆的。

可逆的意思是如果我们知道结果并且知道操作类型，那么我们就能反推得到原来的值。

$f(x)=y$

即知道y和f，就能反向运算得到x。
比如说知道结果是0，而且进行过翻转运算，那么原来一定是1。

但等0和等1操作就是不可逆的，知道结果是0，而且进行过等0操作，我们仍然无法确定原来到底是0还是1。

向量的张量积Tensor product of vectors

我们用⊗符号表示张量积，它的算法公式是：
$\begin{pmatrix}x_0\\x_1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}y_0\\y_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_0\begin{pmatrix}y_0\\y_1\end{pmatrix}\\x_1\begin{pmatrix}y_0\\y_1\end{pmatrix}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_0y_0\\x_0y_1\\x_1y_0\\x_1y_1\end{pmatrix}$

例如：
$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1*3\\1*4\\2*3\\2*4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\4\\6\\8\end{pmatrix}$

如果是多个向量连续张量积运算也是类似：
$\begin{pmatrix}x_0\\x_1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}y_0\\y_1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}z_0\\z_1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_0y_0z_0\\x_0y_0z_1\\x_0y_1z_0\\x_0y_1z_1\\x_1y_0z_0\\x_1y_0z_1 \\x_1y_1z_0 \\x_1y_0z_1\end{pmatrix}$

同样的：
$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0*0*1\\0*0*0\\0*1*1\\0*1*0\\1*0*1\\1*0*0\\1*1*1\\1*1*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\1 \\0 \end{pmatrix}$

乘积态Product state

在上一篇【科普】量子计算通识-1的开始我们就介绍了0和1的另一种写法，|0>和|1>这样的向量表示，但如何将多个经典位用向量连续表示呢？如何用向量比特格式表示5？

答案是向量积，我们把它称为乘积态，比如|00>就表示：

$|00>= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

如果我们设定抛出硬币落地情况有两种可能，或反或正，我们就可以计作【反,正】。
向量(1,0)或者写作(100%,0%)，我们把它理解为有100%的可能性是【反】,0%的可能性是【正】，当然这相当于判决它就是【反】。
同样，(0,1)相当于判决它就是【正】。

如果我们抛两次会怎样？那就共有四种情况，【反反，反正，正反，正正】，我们可以把这四种情况用四个字母表示【A0,A1,A2,A3】，总之不必纠结每一项都是两次的结果，而是只看做一种可能。
我们再看|00>对应的(1,0,0,0)恰好是判决它属于四种可能中的一种，这和我们用1,2,3,4来计数或者用00,01,10,11来计数是一个道理，只是写法的不同。

我们把四种情况都写出来：

$|00>= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\qquad |01>= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}$

$|10>= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} \qquad |11>= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

这样我们就可以把任意数字写为乘积态或向量位的形式：

$十进制的4等于二进制的100即：4_{10}=100_2$

$|4>=|100>= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$

当然这个也可以反写，把一个乘积态向量分解成两个低维独立态Individual state向量,我们把这个过程叫做分解Factor：

$|11>= \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}= |11>$

小结

比特位的四种操作：不变、翻转、等0、等1；
前两者操作可逆，后两者不可逆；
两个2维向量的张量积会变成4维的向量；
$|01>$ 表示 $|0> \otimes|1>$ ，实际是四维向量；
向量做张量积运算得到结果叫乘积态，反向分解得到独立态向量。

有了这些基础，接下来我们就可以来看量子计算的最基本操作CNOT门了。

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END

【科普】量子计算通识-2

经典比特位的四种操作

$f(x)=x$

$f(x)=﹁x$

$f(x)=0$

$f(x)=1$

可逆性Reversible

向量的张量积Tensor product of vectors

乘积态Product state

小结

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