树(Tree)

树 是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它具有以下特点：每个节点有零个或多个子节点；没有父节点的节点称为 根 节点；每一个非根节点有且只有一个 父节点 ；除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

二叉树是每个节点最多有两棵子树的树结构。通常子树被称作“左子树”和“右子树”。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。二叉树的相关性质：
二叉树的每个结点至多只有2棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
二叉树的第i层至多有2^(i-1) 个结点；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点。
一棵深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树称之为 满二叉树 ；
深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为 完全二叉树 。

二叉树的三种遍历方法：
在二叉树的一些应用中，常常要求在树中查找具有某种特征的节点，或者对树中全部节点进行某种处理，这就涉及到二叉树的遍历。二叉树主要是由3个基本单元组成，根节点、左子树和右子树。如果限定先左后右，那么根据这三个部分遍历的顺序不同，可以分为先序遍历、中序遍历和后续遍历三种。

(1) 先序遍历 若二叉树为空，则空操作，否则先访问根节点，再先序遍历左子树，最后先序遍历右子树。 (2) 中序遍历 若二叉树为空，则空操作，否则先中序遍历左子树，再访问根节点，最后中序遍历右子树。(3) 后序遍历 若二叉树为空，则空操作，否则先后序遍历左子树访问根节点，再后序遍历右子树，最后访问根节点。

二叉查找树就是二叉排序树，也叫二叉搜索树。二叉查找树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： (1) 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；(2) 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；(3) 左、右子树也分别为二叉排序树；(4) 没有键值相等的结点。

含有n个节点的二叉查找树的平均查找长度和树的形态有关。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉查找树蜕变为单支树，树的深度为n，其平均查找长度(n+1)/2(和顺序查找相同），最好的情况是二叉查找树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log2(n)成正比。平均情况下，二叉查找树的平均查找长度和logn是等数量级的，所以为了获得更好的性能，通常在二叉查找树的构建过程需要进行“平衡化处理”，之后我们将介绍平衡二叉树和红黑树，这些均可以使查找树的高度为O(log(n))。

//二叉树的节点
class TreeNode<E> {
  E element;
  TreeNode<E> left;
  TreeNode<E> right;

  public TreeNode(E e) {
    element = e;
  }
}

二叉查找树的三种遍历都可以直接用递归的方法来实现：

//先序遍历
protected void preorder(TreeNode<E> root) {

  if (root == null)
    return;

  System.out.println(root.element + " ");
  preorder(root.left);
  preorder(root.right);
}

//中序遍历
protected void inorder(TreeNode<E> root) {

  if (root == null)
    return;

  inorder(root.left);
  System.out.println(root.element + " ");
  inorder(root.right);
}

//后序遍历
protected void postorder(TreeNode<E> root) {

  if(root == null)
    return;

  postorder(root.left);
  postorder(root.right);
  System.out.println(root.element + " ");
}

二叉查找树的简单实现:

public class BST<E extends Comparable<E>> {
  private TreeNode<E> root;
  // 默认构造函数
  public BST() {
  }

  // 二叉查找树的搜索
  public boolean search(E e) {
    TreeNode<E> current = root;
    while (current != null) {
      if (e.compareTo(current.element) < 0) {
        current = current.left;
       }
      else if (e.compareTo(current.element) > 0) {
        current = current.right;
      }
      else {
        return true;
      }
    }
    return false;
  }

  // 二叉查找树的插入
public boolean insert(E e) {
  if (root == null) {
    root = creatNewNode(e);
  }
  else {
    TreeNode<E> parent = null;
    TreeNode<E> current = root;
    while (current != null) {
      if (e.compareTo(current.element) < 0) {
        parent = current;
        current = current.left;
      }
      else if (e.compareTo(current.element) > 0) {
        parent = current;
        current = current.right;
      }
      else {
        return false;
      }
    }

    //插入
    if (e.compareTo(parent.element) < 0) {
      parent.left = creatNewNode(e);
    }
    else {
      parent.right = creatNewNode(e);
    }
  }
  return true;
}

  // 创建新的节点
  protected TreeNode<E> creatNewNode(E e) {
    return new TreeNode(e);
  }
}

// 二叉树的节点
class TreeNode<E extends Comparable<E>> {
  E element;
  TreeNode<E> left;
  TreeNode<E> right;
  public TreeNode(E e) {
    element = e;
  }
}

平衡二叉树又称AVL树，它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。
AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。
红黑树是平衡二叉树的一种，它保证在最坏情况下基本动态集合操作的事件复杂度为O(log n)。红黑树和平衡二叉树区别如下：(1) 红黑树放弃了追求完全平衡，追求大致平衡，在与平衡二叉树的时间复杂度相差不大的情况下，保证每次插入最多只需要三次旋转就能达到平衡，实现起来也更为简单。(2) 平衡二叉树追求绝对平衡，条件比较苛刻，实现起来比较麻烦，每次插入新节点之后需要旋转的次数不能预知。