【矩阵】12、矩阵的运算1

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-01-27 16:58 被阅读0次

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矩阵
【3D数学基础：图形与游戏开发】矩阵（二）

矩阵的运算.png

一、知识点

线性运算

1.相等

两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数，且对应元素相等.即
同型： $A=(a_{ij})_{m \times n}=B=(b_{ij})_{m \times n}$
对应元素相等： $a_{ij}=b_{ij}$

2.加减法

$A=(a_{ij})_{m \times n}$ 与 $B=(b_{ij})_{m \times n}$ 定义

$A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}$

$A-B=(a_{ij}-b_{ij})_{m \times n}$

运算规律：
$A+B=B+A$ ， $(A+B)+C=A+(B+C)$

$A+0=A=0+A$ ， $A-A=0$

负矩阵
$A=(a_{ij})_{m \times n}$ 的负矩阵为 $(-a_{ij})_{m \times n}$ 记作 $-A$ ，即 $-A=(-a_{ij})_{m \times n}$

3.数乘

$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots& a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \\ \end{array} \right)$

与数的乘法，简称为数乘。记作：kA

$kA=\left( \begin{array}{cccc} ka_{11}&ka_{12}&\cdots& ka_{1n} \\ ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn} \\ \end{array} \right)$

注意：数k乘矩阵中的每一个元素。

运算规律
$k(A+B)=kA+kB$

$k(lA)=(kl)A，(k+l)A=kA+lA$

矩阵的乘法

$\begin{equation*} \end{equation*} \begin{cases} y_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}\\ y_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}\\ \end{cases}$
与
$\begin{equation*} \end{equation*} \begin{cases} x_{1}=b_{11}t_{1}+b_{12}t_{2}\\ x_{2}=b_{21}t_{1}+b_{22}t_{2}\\ x_{3}=b_{31}t_{1}+b_{32}t_{2} \end{cases}$

把 $x$ 代入 $y$ 中，得：
$\begin{equation*} \end{equation*} \begin{cases} y_{1}=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31})t_{1}+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32})t_{2} \\ y_{2}=(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31})t_{1}+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32})t_{2} \end{cases}$

$\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cccc} b_{11}&b_{12} \\ b_{21}&b_{22} \\ b_{31}&b_{32} \end{array} \right)=$

$\left( \begin{array}{cccc} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}\\ \end{array} \right)$

一般地，有
$A=(a_{ij})_{m \times s} \quad B=(b_{ij})_{s \times n}$

A的列数和B的行数要相等才可以相乘。

$C=AB=(c_{ij})_{m \times n}$

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ \cdots + a_{is}b_{sj}$

$C_{m \times n}=A_{m \times s}B_{s \times n}$

矩阵相乘不难，若AB=C,A矩阵第一行与B矩阵第一列相乘相加即为C矩阵的第一行第一列元素，A矩阵第一行与B矩阵第二列相乘相加即为C矩阵的第一行第二列元素。

★★★矩阵与数的不同：

1.矩阵乘法不满足交换律（ $AB \neq BA$ ）；
2.不满足消去律（ $AB=AC$ 但是 $B \neq C$ ）；
3.有非零的零因子（两个非零矩阵相乘可为零）；

例1.

$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&1 \\ -1&-1\\ \end{array} \right)$ $B=\left( \begin{array}{cccc} 1&-1 \\ -1&1\\ \end{array} \right)$

$AB=\left( \begin{array}{cccc} 0&0 \\ 0&0\\ \end{array} \right)=0$

$BA=\left( \begin{array}{cccc} 2&2 \\ -2&-2\\ \end{array} \right)$

显然 $AB \neq BA$ (这正是矩阵与数的不同)
且 $AB$ 为零，无法推出A为零，或B为零。

例2.

$A=\left( \begin{array}{cccc} 2&4 \\ -3&-6\\ \end{array} \right)$ $B=\left( \begin{array}{cccc} -1&4 \\ 2&-1\\ \end{array} \right)$

$C=\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 1&1\\ \end{array} \right)$

$AB=\left( \begin{array}{cccc} 6&4 \\ -9&-6\\ \end{array} \right)$ ， $AC=\left( \begin{array}{cccc} 6&4 \\ -9&-6\\ \end{array} \right)$

$AB=AC$ 但是 $B \neq C$ (这又是矩阵与数的不同)

★★★矩阵满足的运算规律：

$1. \ (AB)C=A(BC)$

$2. \ A(B+C)=AB+AC$
$(B+C)A=BA+CA$

$3. \ k(AB)=(kA)B=A(kB)$

$4.\ E_{m}A_{m \times n}=A=A_{m \times n}E_{n}$

二、练习

1、矩阵 $A=\left( \begin{array}{cccc} cos \phi&-sin \phi \\ sin \phi&cos \phi \\ \end{array} \right)$

$AA=\_\_\_\_$

2、 $a_{1} \cdots a_{n} \neq 0$ ,对角阵 $A= \left( \begin{array}{cccc} a_{1}&& \\ &\ddots& \\ &&a_{n} \end{array} \right)$ ， $B= \left( \begin{array}{cccc} \frac {1} {a_{1}}&& \\ &\ddots& \\ && \frac {1} {a_{n} } \end{array} \right)$

$AB=\_\_\_\_$

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