矩阵的逆
矩阵的逆运算只能用于方阵。
一、运算法则
1、矩阵的逆
方阵M的逆,记作M-1,也是一个矩阵,当M与M-1相乘时,结果是单位矩阵。用公式表达如下:
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并非所有矩阵都有逆,一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零,用任何矩阵乘以该矩阵,结果都是零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵,那么称它为可逆的或非奇异的,如果一个矩阵没有逆矩阵,则称它为不可逆的或奇异矩阵。奇异矩阵行列式为零,非奇异矩阵的行列式不为零,所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效办法。此外,任意可逆矩阵M,当且仅当v=0时,vM=0。
2、矩阵的伴随矩阵
矩阵的M“标准伴随矩阵”记作“adj M”,定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵,下例:
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3、逆矩阵
逆矩阵可以使用伴随矩阵来求解
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5、逆矩阵的重要性质
①如果M是非奇异矩阵,则该矩阵的逆的逆等于原矩阵:
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②单位矩阵的逆时它本身:
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③矩阵转置的逆等于它的逆的转置:
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④矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序乘积:
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二、几何解释
矩阵的逆在几何上非常有用,因为它使得我们可以计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤销”原变换的变换。所以,如果向量v用矩阵M来进行变换,接着用M的逆M-1进行变换,将会得到原向量:
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