这里主要讨论梯度下降法和牛顿法的原理

1.梯度下降法

形式：，其中为损失函数，为模型参数

下面将推导这一形式的由来.

首先，需要用到多元函数的一级泰勒展开式：

如果忽略高阶无穷小，即是的领域，那么等号就会变为近似相等，即：

要使得损失函数下降更快，只需要等式右边得到最小值。

由可知，当与的夹角余弦时等式右边可取得最小值。

由于对应的方向单位向量可表示为：

当与的方向相反(夹角余弦)时有：，其中为正数。由于分母为标量，因此可以合并到中，化简为：

需要注意的是，和要离的充分近，也就是在它的邻域里面，才能忽略掉泰勒展开里面的一次以上的项，否则就不能忽略它了，它就不是高阶无穷小了，约等于的条件就不成立了，所以步长不能够太大，由此我们就得到了梯度下降法的公式。

2.牛顿法

    形式： ， 其中为Hessian矩阵

下面将推导这一形式的由来。

首先，需要用到多元函数的二级泰勒展开式：

如果忽略高阶无穷小，即是的邻域，那么等号就会变为近似相等，即：

如果是二次函数的话，我们找它梯度等于0的点是非常好找的，基于约等于的式子，两边同时求导。

因为

且H是对称矩阵，所以：

下面可以求解一次方程，如果hessian 矩阵可逆，就可以两边乘上 H 的逆矩阵，令，则

两边同时乘H 的逆矩阵，有

注意一下H和都是点处取得的，稍作调整为：

有同学肯定会说，那我们去求解方程组，那不是一次就可以求得梯度等于 0 的点 了嘛， 但是因为我们忽略了后面的高阶无穷小，所以我们只是近似的找到了梯度等于 0 的点，但 是它并没有真正找到，所以我们下次要继续去用这个公式去迭代。

迭代优化时会加上步长：

如果我们的是二次函数的话，牛顿法一步就可以收敛，前提是步长不做设置，等于 1 的 时候就可以了，这是因为如果原函数是二次函数的话，泰勒展开里面就不是约等于，而是直接等于。

梯度下降法和牛顿法的关系

梯度下降法和牛顿法的关系

梯度下降法只用到了一阶导数的信息，牛顿法既用到了一阶导数的信息，也用到了二阶导数的信息。

梯度下降法是用线性函数来代替目标函数，牛顿法是用二次函数来代替目标函数， 所以说牛顿法的收敛速度是更快的。

但是牛顿法也有它的局限，hessian 矩阵不一定可逆，第二个即使存在，我们来解一个线性 方程组，当 hessian 矩阵规模很大，解线性方程组是非常耗时的，因此出现了一种改进的算 法叫拟牛顿法