近世代数理论基础17：群的应用

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-02-23 07:18 被阅读49次

群的应用

本原单位根

满足 $a^n=1$ 的a称为一个n次单位根,若 $a^n=1$ ,而 $m\lt n$ 时, $a^m\neq 1$ ,则称a为n次本原单位根

一个n次本原单位根可生成所有的n次单位根

方程 $x^n=1$ 在复数范围内有n个根 $\omega,\omega^2,\cdots,\omega^n$ ,其中 $\omega=e^{2\pi i\over n}$

令 $S=\{\omega,\omega^2,\cdots,\omega^{n-1},\omega^n=1\}$ ,则S关于复数的乘法法构成一个n阶循环群,故 $\omega^k$ 是本原单位根 $\Leftrightarrow <\omega^k>=S\Leftrightarrow (k,n)=1$

对称多项式

n元多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ,若 $\forall i,j,1\le i\lt j\le n$ ,有 $f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_j,\cdots,x_n)=f(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$ ,则称为对称多项式

对称多项式与对称群 $S_n$ 有关

$S_n$ 中的元 $\sigma$ 是 $1,2,\cdots,n$ 这n个数码的一个置换

设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为任一多项式,定义 $\sigma$ 在 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 上的作用： $\sigma f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\cdots,x_{\sigma(n)})$

故 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是对称多项式 $\Leftrightarrow \forall 对换\tau=(i,j)\in S_n$ ,有 $\tau f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

由任一置换都可表成一些对换的乘积,故 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是对称多项式 $\Leftrightarrow \forall \sigma\in S_n$ ,有 $\sigma f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\cdots,x_{\sigma(n)})$

例：n=3时, $S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$ ,取 $f_1(x_1,x_2,\cdots,x_3)=x_1x_2$ ,则 $f(x_1,x_2,x_3)=\sum\limits_{\sigma\in S_3}\sigma f_1(x_1,x_2,x_3)$

$=2(x_1x_2+x_2+x_3+x_1x_3)$ 是一个对称多项式

若取 $f_2(x_1,x_2,x_3)=x_1^2x_2$ ,则

$g(x_1,x_2,x_3)=\sum\limits_{\sigma\in S_3}\sigma f_2(x_1,x_2,x_3)$

$=x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1+x_1^2x_3+x_2^2x_1+x_3^2x_2$ 也是一个对称多项式

群在化学中的应用

例：在苯环上结合 $H、CH_3或OH$ ,一共可形成多少种不同的化合物

解：

$苯环中共有6个碳原子$

$在每个碳原子上结合一个H、CH_3或OH$

$结合的方式共有3^6个$

$其中有很多结构是相同的$

$考虑苯环的对称群G$

$G作用在3^6个不同结构所组成的集合上的轨道数即真正不同的化合物的个数$

$将6个碳原子编号$

$则对称群G由1个恒等映射,2个旋转和3个对称轴的反射组成$

$G=\{(1),(135)(246),(153)(264),(12)(36)(45),(14)(23)(56),(16)(25)(34)\}$

$(1)的不动点个数|X^{(1)}|=3^6$

$(135)(246)的不动点个数|X^{(135)(246)}|=3^2$

$(153)(264)的不动点个数|X^{(153)(264)}|=3^2$

$(12)(36)(45),(14)(23)(56),(16)(25)(34)的不动点个数$

$|X^{(12)(36)(45)}|=|X^{(14)(23)(56)}|=|X^{(16)(25)(34)}|=3^3$

$由Burnside定理$

$等价类的个数N={1\over |G|}\sum\limits_{g\in G}|X^g|$

$={1\over 6}(3^6+3^2+3^2+3^3+3^3+3^3)=138$

$由此共可产生138种不同的化合物$

初等数论在密码学中的应用

RSA公钥密码

成立一个密码管理中心,使用密码的每个用户都需要取密码管理中心登记,每个用户在登记时,密码管理中心为用户选取一个大整数 $n=pq$ ,其中p和q是两个不同的大素数

中心可计算欧拉函数 $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$ ,用户选择一个小于 $\varphi(n)$ 且与它互素的正整数e

由辗转相除法可得整数d,l使 $ed+l\varphi(n)=1$ ,即 $ed\equiv 1(mod\;\varphi(n))$

用户将n和e公开,将d,p,q保密,仅用户与中心知道

e称为该用户的公开密钥或加密密钥,d称为该用户的秘密密钥或解密密钥

在选择n时,n要选得足够大,使得在现有的技术条件下,因子分解n是不可能的

若不知道p和q则无法计算欧拉函数 $\varphi(n)$

只要知道了一个用户(A)的公开密钥e,任何人(B)都可向他发送加密信息,在计算机中,一个信息都由0和1组成的数字串表示,设B要发给A的信息m为 $(m_0,m_1,\cdots,m_l),m_i=0或1$ ,利用二进制,可将m表为一个整数 $m=m_0+2m_1+2^2m_2+\cdots+2^lm_l$ ,假设 $m\lt n$ ,B可利用A的公开密钥e将信息m加密,得到密文 $c\equiv m^e(mod\; n)$ ,B将密文c通过公开的信道发给A,A收到密文后,利用他的秘密密钥d解密,计算 $c^d(mod\; n)$ ,由欧拉定理, $c^d\equiv m^{ed}=m^{1-l\varphi(n)}=m(m^{\varphi(n)})^{-l}\equiv m(mod\; n)$ ,A就从密文c得到了明文m