三角形中的等式关系专题

本文总结了三角形中常用的公式，主要通过三角形的三个内角、三条边长、以及三个顶点坐标，结合三角函数和向量来描述它们之间的关系。主要涉及描述边角关系的正弦、余弦、正切定理；内心、重心、外心、垂心间的关系；内角的等式以及多个面积公式。当然了，这里的小结远远不能涵盖所有关于三角形的等式关系。

边角关系

• 正弦定理：
• 余弦定理：
  • 第一种形式：
  • 第二种形式：
  • 第三种形式(角元形式)：
  • 特殊情况：勾股定理
• 正切定理：

内心、外心、重心、垂心

• O是△ABC内心的充要条件：
• O、H分别是△ABC内心、垂心，那么
• 三角形的外心、重心、垂心共线
• 已知△ABC的三点坐标为，三边依次为，则
  • 内心坐标：
  • 外心横、纵坐标分别为：
  • 垂心坐标：
  • 重心坐标：

三角间的关系

• 内角和：
• 
• 
• 角元公式：

三角形面积公式

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则三角形面积

• 高与底：
• 两边与夹角：
• 三边与外接圆半径：
• 三边与内切圆半径：
• 海伦公式：

其中由正弦定理：可得代入得

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