《费马大定理》两个基本常识

这周抽空读了一下《费马大定理》这本书，主要是讲历代数学家们如何把这样一个折磨了人类300多年的数学问题给攻克的过程。这里不赘述书中描写各个时代大数学家们对此做出的贡献，最终由几百年后的怀尔斯完成了这一伟大的证明（也是号称数学诺贝尔奖的“菲尔茨奖”，唯一一次授予年龄超过40岁的数学家）。

费马大定理如下：
当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

这里只复述一下两个基本常识：科学证明与数学证明。

经典的数学证明办法是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些可以是假定为真的，有些则是显然为真的；然后通过逻辑论证，一步接一步，最后就可能得到某个结论。公理是正确的，逻辑也无缺陷，那么得到的结论将是不可不否定的。这个结论就是一个定理。

科学证明是根据已经得到的证据被认为是非常可能的。

这两者的差别：数学证明是绝对的，而科学证明只是一种可能性。

数学证明是依靠逻辑过程，而且一经证明就永远是对的，这就是数学证明的绝对性。

科学证明依赖于观察和理解力，或者证据并不是绝对，无法穷举的情况下，这是有出错的可能。科学的发展与进步很多时候都是用一种新的方式去证明原来的科学证明是错的。但数学的证明却恰恰相反，不能用推翻旧的去发展。否则整个数学体系都面临崩塌。比如罗素提出的“悖论”，哥尔德的“不可判定”命题，就引发了数学危机。

为什么数学证明必须是绝对正确的呢？
如果一个定理不被完全证明就当作是正确的，那么它就会被用于另外一系列别的较大的证明中不可或缺的要素。然后这些较大的证明又被用另外一些证明，如此以往，可能有成百上千个定理要依赖于这个最初的未经核查的定理的正确性。万一在某个时候发现这个最初被依赖的定理是错的，那庞大的数学领域将会崩溃。

数学证明是不能靠举例完成的，举例法唯一能用的场合就是反证法，即证伪。证明是使用再多的例子都没有用。而这一点在我们的教育中是如此地荒谬。我们在上学时，写文章经常被要求举例，这些都是逻辑上严重的漏洞，我们却一代一代的传承下来了。

定理是数学的基础，因为一旦它们的正确性被证明，就可以放心地在它们上面建立别的定理。任何依赖猜想而进行的逻辑推理，其本身也是一个猜想。

很多人觉得证明了费马大定理又有什么用呢？买菜又用不上。是的，如果仅仅是日常，数学就不用发展了。对于这样的观点，实在是没有任何兴趣去反驳。

引用书中的一些话：

大定理就像数学中的塞壬，诱惑天才人物走近它，结果却打破了他们的希望，任何卷入费马大定理的数学家都冒着白白浪费生命的风险，然而任何能做出关键的突破性工作的人也会因解决了世界上最困难的问题而载入史册。

有两个原因使一代又一代的数学家迷于费马大定理。
其一：极为强烈的要胜人一筹的意识；
其二：无论谁能响应费马的挑战，他就会享受到解谜时的那种单纯的满足感。

数学在科学技术中有它的应用，但这不是驱使数学家们的动力。解答数学问题的欲望多半出于好奇，而回报则是因解决了难题而获得的单纯而又巨大的满足感。