常用非比较类排序算法

前言

本篇完全转载于常用排序算法总结(二)。

其中有部分代码进行了更改，更改成java语言。

非对比类排序算法

非比较排序算法：计数排序，基数排序，桶排序。在一定条件下，它们的时间复杂度可以达到O(n)。

计数排序

计数排序用到一个额外的计数数组C，根据数组C来将原数组A中的元素排到正确的位置。

通俗地理解，例如有10个年龄不同的人，假如统计出有8个人的年龄不比小明大（即小于等于小明的年龄，这里也包括了小明），那么小明的年龄就排在第8位，通过这种思想可以确定每个人的位置，也就排好了序。当然，年龄一样时需要特殊处理（保证稳定性）：通过反向填充目标数组，填充完毕后将对应的数字统计递减，可以确保计数排序的稳定性。

计数排序的步骤如下：

• 统计数组A中每个值A[i]出现的次数，存入C[A[i]]
• 从前向后，使数组C中的每个值等于其与前一项相加，这样数组C[A[i]]就变成了代表数组A中小于等于A[i]的元素个数
• 反向填充目标数组temp：将数组元素A[i]放在数组B的第C[A[i]]个位置（下标为C[A[i]] - 1），每放一个元素就将C[A[i]]递减

// 分类 ------------ 内部非比较排序
// 数据结构 --------- 数组
// 最差时间复杂度 ---- O(n + k)
// 最优时间复杂度 ---- O(n + k)
// 平均时间复杂度 ---- O(n + k)
// 所需辅助空间 ------ O(n + k)
// 稳定性 ----------- 稳定
public static void countingSort(int A[], int n) {
    int[] C = new int[99];
    int[] temp = new int[n];

    for (int i : A) {
        C[i]++;
    }

    for (int i = 1; i < C.length; i++) {
        C[i] = C[i] + C[i - 1];
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        temp[--C[A[i]]] = A[i];
    }

    for (int i = 0; i < temp.length; i++) {
        A[i] = temp[i];
    }
}

计数排序的时间复杂度和空间复杂度与数组A的数据范围（A中元素的最大值与最小值的差加上1）有关，因此对于数据范围很大的数组，计数排序需要大量时间和内存。

例如：对0到99之间的数字进行排序，计数排序是最好的算法，然而计数排序并不适合按字母顺序排序人名，将计数排序用在基数排序算法中，能够更有效的排序数据范围很大的数组。

单纯的计数排序，只适用于非负数数列排序，而且temp数组的大小与A中元素的最大值和最小值差有关系，不确定性因素很强。

基数排序

基数排序将所有待比较正整数统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始进行基数为10的计数排序，一直到最高位计数排序完后，数列就变成一个有序序列（利用了计数排序的稳定性）。

// 分类 ------------- 内部非比较排序
// 数据结构 ---------- 数组
// 最差时间复杂度 ---- O(n * dn)
// 最优时间复杂度 ---- O(n * dn)
// 平均时间复杂度 ---- O(n * dn)
// 所需辅助空间 ------ O(n * dn)
// 稳定性 ----------- 稳定
public static void lsdRadixSort(int arr[], int n) {
    int dn = 3; // 假设最高是三位数排序
    for (int d = 1; d <= dn; d++) {
        countingSort(arr, n, d);
    }
}

// 计数排序
public static void countingSort(int arr[], int n, int d) {
    int[] C = new int[10]; // 0-9共十个数
    int[] temp = new int[n];

    for (int i : arr) {
        C[getDigit(i, d)]++;
    }

    for (int i = 1; i < C.length; i++) {
        C[i] = C[i] + C[i - 1];
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int digit = getDigit(arr[i], d);
        temp[--C[digit]] = arr[i];
    }

    for (int i = 0; i < temp.length; i++) {
        arr[i] = temp[i];
    }
}

// 获取第n位数
public static int getDigit(int x, int d) {
    int[] radix = {1, 1, 10, 100};
    return (x/radix[d]) % 10;
}

下图给出了对{ 329, 457, 657, 839, 436, 720, 355 }进行基数排序的简单演示过程

基数排序.jpg

基数排序的时间复杂度是O(n * dn)，其中n是待排序元素个数，dn是数字位数。这个时间复杂度不一定优于O(nlogn)，dn的大小取决于数字位的选择（比如比特位数），和待排序数据所属数据类型的全集的大小；dn决定了进行多少轮处理，而n是每轮处理的操作数目。

如果考虑和比较排序进行对照，基数排序的形式复杂度虽然不一定更小，但由于不进行比较，因此其基本操作的代价较小，而且如果适当的选择基数，dn一般不大于log n，所以基数排序一般要快过基于比较的排序，比如快速排序。由于整数也可以表达字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮点数，所以基数排序并不是只能用于整数排序。

桶排序

桶排序也叫箱排序。工作的原理是将数组元素映射到有限数量个桶里，利用计数排序可以定位桶的边界，每个桶再各自进行桶内排序（使用其它排序算法或以递归方式继续使用桶排序）。

// 分类 ------------- 内部非比较排序
// 数据结构 --------- 数组
// 最差时间复杂度 ---- O(nlogn)或O(n^2)，只有一个桶，取决于桶内排序方式
// 最优时间复杂度 ---- O(n)，每个元素占一个桶
// 平均时间复杂度 ---- O(n)，保证各个桶内元素个数均匀即可
// 所需辅助空间 ------ O(n + bn)
// 稳定性 ----------- 稳定

/* 本程序用数组模拟桶 */
const int bn = 5;    // 这里排序[0,49]的元素，使用5个桶就够了，也可以根据输入动态确定桶的数量
int C[bn];           // 计数数组，存放桶的边界信息

void InsertionSort(int A[], int left, int right)
{
    for (int i = left + 1; i <= right; i++)  // 从第二张牌开始抓，直到最后一张牌
    {
        int get = A[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= left && A[j] > get)
        {
            A[j + 1] = A[j];
            j--;
        }
        A[j + 1] = get;
    }
}

int MapToBucket(int x)
{
    return x / 10;    // 映射函数f(x)，作用相当于快排中的Partition，把大量数据分割成基本有序的数据块
}

void CountingSort(int A[], int n)
{
    for (int i = 0; i < bn; i++)
    {
        C[i] = 0;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)     // 使C[i]保存着i号桶中元素的个数
    {
        C[MapToBucket(A[i])]++;
    }
    for (int i = 1; i < bn; i++)    // 定位桶边界：初始时，C[i]-1为i号桶最后一个元素的位置
    {
        C[i] = C[i] + C[i - 1];
    }
    int *B = (int *)malloc((n) * sizeof(int));
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)// 从后向前扫描保证计数排序的稳定性(重复元素相对次序不变)
    {
        int b = MapToBucket(A[i]);  // 元素A[i]位于b号桶
        B[--C[b]] = A[i];           // 把每个元素A[i]放到它在输出数组B中的正确位置上
                                    // 桶的边界被更新：C[b]为b号桶第一个元素的位置
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        A[i] = B[i];
    }
    free(B);
}

void BucketSort(int A[], int n)
{
    CountingSort(A, n);          // 利用计数排序确定各个桶的边界（分桶）
    for (int i = 0; i < bn; i++) // 对每一个桶中的元素应用插入排序
    {
        int left = C[i];         // C[i]为i号桶第一个元素的位置
        int right = (i == bn - 1 ? n - 1 : C[i + 1] - 1);// C[i+1]-1为i号桶最后一个元素的位置
        if (left < right)        // 对元素个数大于1的桶进行桶内插入排序
            InsertionSort(A, left, right);
    }
}

下图给出了对{ 29, 25, 3, 49, 9, 37, 21, 43 }进行桶排序的简单演示过程

桶排序.jpg

桶排序不是比较排序，不受到O(nlogn)下限的影响，它是鸽巢排序的一种归纳结果，当所要排序的数组值分散均匀的时候，桶排序拥有线性的时间复杂度。

终

计数排序是根据统计量来进行排序，不进行比较，适用于更广的场景。

基数排序是对计数排序的优化，因为计数排序的空间负责度取决于数列中最大数值和最小数值的差，如果相差非常大，耗费空间就非常多。

桶排序也可以视为对计数排序的优化，只要桶的间隔选择的好，时间复杂度能得到很大的优化。