生活中的旋转
将一个图形旋转很难吗?
真的不难,利用各种绘图工具都能轻松实现,不要说180°,任意角度都可以,当然还可以制作成动画。
稍微难点的,比如将身体旋转180°,也有人做到了……
这不科学啊,感觉思想被掏空……
诚然,将一行数字旋转180°也是SO EASY的
增加点难度
有n个盒子,从左至右依次编号为:1、2、3、……、n-1、n,每个盒子里有两个球,第1个盒子里是编号为n的小球,第二个盒子里是编号为(n-1)的小球,第三个盒子里是编号为(n-2)的小球……第n个盒子里是编号为1的小球。
要求:每次取相邻盒子里的两个小球互换位置,那么最少经过多少次变换,才能将标有编号的小球全部放入相对应的箱子里?
即将数字:nn、(n-1)(n-1)、……、33、22、11,至少经过多少次变换,转化为:11、22、33、44、……nn
一看到数学上的n就会想让它……
我们从n=2开始研究,
这个很简单,将22、11变成11、22,
22、11→21、21→11、22,两次即可;
下面是n=3时,
这个也不难,33、22、11→31、22、13→11、22、33,
哈哈,同样的两步之内完成……
有小伙伴说:哦!我知道了,根据数学归纳法,两步即可完成……
事情没有那么简单,
我们跳过简单的n=4,来到n=5,
将55、44、33、22、11变换成11、22、33、44、55,每次交换其中的两个数,小伙伴们可以试一下……
有人会这样想:一共10个球,是不是需要交换2×10=20次呢?
事实不是这样的,只需要15次即可。
55、44、33、22、11
→54、54、33、22、11
→54、43、53、22、11
→54、43、32、52、11
→54、43、32、21、51
→54、43、21、32、51
→54、31、42、32、51
→41、53、42、32、51
→41、32、54、32、51
→41、32、42、53、51
→41、42、42、31、55
→41、42、21、43、55
→41、21、32、43、55
→11、42、32、43、55
→11、22、43、43、55
→11、22、33、44、55
又是一个大坑!数学太难了!
分析
一看看去似乎觉得不可思议,仔细一想,有道理在里面的,我们将左边盒子中数字大于右边盒子中的数字,称为“逆数对”。
如果两个不同的数在一个盒子里,我们称为“半逆数对”。
假如某一步我们将:AB、CD变换成了AC、BD,最好的情况是BC这一个逆序对彻底消除,同时AC、BD两个逆序对也消除了一半,AB、CD也消除了一半的逆序对,也就是说:最好的一步最多只能消除3个逆序对。
按照这一分析,我们发现:n个盒子中共有2n个小球,逆数对的个数共有:
个逆数对,自然至少共需要步数为:
即可完成。
这个公式验证了n=5时,最少需要15步的情形,依次类推,n=6时,最少的步数应该是22步。
然而,经过计算机的计算,n=6时没有23步是不可能达到的,于是,这个问题又被挖了一个坑,这个坑还暂时未被填补上。
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