玩转数据结构-10.线段树

1.什么是线段树

假设有编号从1到n的n个点，每个点都存了一些信息，用[L,R]表示下标从L到R的这些点。
线段树的用处就是，对编号连续的一些点进行修改或者统计操作，修改和统计的复杂度都是O(log2(n)).
线段树的原理，就是，将[1,n]分解成若干特定的子区间(数量不超过4*n),然后，将每个区间[L,R]都分解为
少量特定的子区间，通过对这些少量子区间的修改或者统计，来实现快速对[L,R]的修改或者统计。

由此看出，用线段树统计的东西，必须符合区间加法，否则，不可能通过分成的子区间来得到[L,R]的统计结果。

2.为什么要使用线段树

• 1.经典的线段树问题：区间染色
  

  有一面墙，长度为 n，每次选择一段墙进行染色，如下图所示： image.png
  数组实现：
  

  染色操作（更新区间）O(n)
  查询操作（查询区间）O(n)

• 2.另一类经典问题：区间查询 image.png

3.图解线段树

image.png 线段树不是完全二叉树，是平衡二叉树（最大的深度和最小的深度差不超过1），平衡二叉树不会退化为链表 image.png

如果 n = 2^k ，只需要2n 的空间
最坏的情况，如果n = 2^k +1，则需要4n 的空间

如果区间有 n 个元素，用数组表示需要4n 的空间，线段树不考虑添加元素，即区间固定，使用4n 的静态空间即可

4.线段树的代码实现

• 基本实现：

public class SegmentTree<E> {

    private E[] tree;
    private E[] data;
    private Merge<E> merge;

    public SegmentTree(E[] arr, Merge<E> merge) {
        this.merge = merge;
        data = (E[]) new Object[arr.length];

        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            data[i] = arr[i];
        }

        tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];

        buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
    }

    /**
     * 在 treeIndex的位置创建表示区间[l...r]的线段树
     *
     * @param treeIndex
     * @param l
     * @param r
     */
    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }

        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        int mid = l + (r - l) / 2;
        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);

        tree[treeIndex] = merge.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);

    }

    public int size() {
        return data.length;
    }

    public E get(int index) {

        if (index < 0 || index >= data.length) {
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        }

        return data[index];
    }

    /**
     * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的左孩子节点的索引
     *
     * @param index
     * @return
     */
    private int leftChild(int index) {
        return 2 * index + 1;
    }

    /**
     * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的右孩子节点的索引
     *
     * @param index
     * @return
     */
    private int rightChild(int index) {
        return 2 * index + 2;
    }

}

• 线段树的查询：

public E query(int queryL, int queryR) {
        if (queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length) {
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");
        }

        return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
    }

    /**
     * 在以 treeIndex 为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryL...queryR]的值
     *
     * @param treeIndex
     * @param l
     * @param r
     * @param queryL
     * @param queryR
     * @return
     */
    private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {
        if (l == queryL && r == queryR) {
            return tree[treeIndex];
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        if (queryL >= mid + 1) {
            return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
        } else if (queryR <= mid) {
            return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
        }

        E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
        E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);

        return merge.merge(leftResult, rightResult);
    }

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