线段树(又称区间树), 是一种高级数据结构，他可以支持这样的一些操作:
- 查找给定的点包含在了哪些区间内
- 查找给定的区间包含了哪些点
线段树的构造
题目
线段树是一棵二叉树，他的每个节点包含了两个额外的属性start和end用于表示该节点所代表的区间。start和end都是整数，并按照如下的方式赋值:
- 根节点的 start 和 end 由 build 方法所给出。
- 对于节点 A 的左儿子，有 start=A.left, end=(A.left + A.right) / 2。
- 对于节点 A 的右儿子，有 start=(A.left + A.right) / 2 + 1, end=A.right。
- 如果 start 等于 end, 那么该节点是叶子节点，不再有左右儿子。
实现一个 build 方法，接受 start 和 end 作为参数, 然后构造一个代表区间 [start, end] 的线段树，返回这棵线段树的根。
代码
/**
* Definition of SegmentTreeNode:
* public class SegmentTreeNode {
* public int start, end;
* public SegmentTreeNode left, right;
* public SegmentTreeNode(int start, int end) {
* this.start = start, this.end = end;
* this.left = this.right = null;
* }
* }
*/
public class Solution {
/**
*@param start, end: Denote an segment / interval
*@return: The root of Segment Tree
*/
public SegmentTreeNode build(int start, int end) {
// write your code here
if(start > end) { // check core case
return null;
}
SegmentTreeNode root = new SegmentTreeNode(start, end);
if(start < end) {
int mid = (start + end) / 2;
root.left = build(start, mid);
root.right = build(mid+1, end);
}
return root;
}
}
线段树的构造 II
题目
跟上题类似，增加一个属性max，记录区间最大值
代码
/**
* Definition of SegmentTreeNode:
* public class SegmentTreeNode {
* public int start, end, max;
* public SegmentTreeNode left, right;
* public SegmentTreeNode(int start, int end, int max) {
* this.start = start;
* this.end = end;
* this.max = max
* this.left = this.right = null;
* }
* }
*/
public class Solution {
/**
*@param A: a list of integer
*@return: The root of Segment Tree
*/
public SegmentTreeNode build(int[] A) {
// write your code here
return buildTree(0, A.length - 1, A);
}
public SegmentTreeNode buildTree(int start, int end, int[] A) {
if (start > end)
return null;
if (start == end) {
return new SegmentTreeNode(start, end, A[start]);
}
SegmentTreeNode node = new SegmentTreeNode(start, end, A[start]);
int mid = (start + end) / 2;
node.left = this.buildTree(start, mid, A);
node.right = this.buildTree(mid + 1, end, A);
node.max = Math.max(node.left.max, node.right.max);
return node;
}
}
线段树的查询
题目
对于一个有n个数的整数数组，在对应的线段树中, 根节点所代表的区间为0-n-1, 每个节点有一个额外的属性max，值为该节点所代表的数组区间start到end内的最大值。
为SegmentTree设计一个 query 的方法，接受3个参数root, start和end，线段树root所代表的数组中子区间[start, end]内的最大值。
样例
对于数组 [1, 4, 2, 3], 对应的线段树为：
query(root, 1, 1), return 4
query(root, 1, 2), return 4
query(root, 2, 3), return 3
query(root, 0, 2), return 4
Paste_Image.png
代码
/**
* Definition of SegmentTreeNode:
* public class SegmentTreeNode {
* public int start, end, max;
* public SegmentTreeNode left, right;
* public SegmentTreeNode(int start, int end, int max) {
* this.start = start;
* this.end = end;
* this.max = max
* this.left = this.right = null;
* }
* }
*/
public class Solution {
/**
*@param root, start, end: The root of segment tree and
* an segment / interval
*@return: The maximum number in the interval [start, end]
*/
public int query(SegmentTreeNode root, int start, int end) {
// write your code here
if(root == null)
{
return Integer.MIN_VALUE;
}
if(start == root.start && root.end == end) { // 相等
return root.max;
}
int mid = (root.start + root.end)/2;
int leftmax = Integer.MIN_VALUE, rightmax = Integer.MIN_VALUE;
// 左子区
if(start <= mid) {
if( mid < end) { // 分裂
leftmax = query(root.left, start, mid);
} else { // 包含
leftmax = query(root.left, start, end);
}
// leftmax = query(root.left, start, Math.min(mid,end));
}
// 右子区
if(mid < end) { // 分裂 3
if(start <= mid) {
rightmax = query(root.right, mid+1, end);
} else { // 包含
rightmax = query(root.right, start, end);
}
//rightmax = query(root.right, Math.max(mid+1,start), end);
}
// else 就是不相交
return Math.max(leftmax, rightmax);
}
}
线段树查询 II
题目
对于一个数组，我们可以对其建立一棵 线段树, 每个结点存储一个额外的值 count 来代表这个结点所指代的数组区间内的元素个数. (数组中并不一定每个位置上都有元素)
实现一个 query 的方法，该方法接受三个参数 root, start 和 end, 分别代表线段树的根节点和需要查询的区间，找到数组中在区间[start, end]内的元素个数。
样例
对于数组 [0, 空，2, 3], 对应的线段树为：
Paste_Image.png
query(1, 1), return 0
query(1, 2), return 1
query(2, 3), return 2
query(0, 2), return 2
代码
/**
* Definition of SegmentTreeNode:
* public class SegmentTreeNode {
* public int start, end, count;
* public SegmentTreeNode left, right;
* public SegmentTreeNode(int start, int end, int count) {
* this.start = start;
* this.end = end;
* this.count = count;
* this.left = this.right = null;
* }
* }
*/
public class Solution {
/**
*@param root, start, end: The root of segment tree and
* an segment / interval
*@return: The count number in the interval [start, end]
*/
public int query(SegmentTreeNode root, int start, int end) {
// write your code here
if(start > end || root==null)
return 0;
if(start <= root.start && root.end <= end) { // 相等
return root.count;
}
int mid = (root.start + root.end)/2;
int leftsum = 0, rightsum = 0;
// 左子区
if(start <= mid) {
if( mid < end) { // 分裂
leftsum = query(root.left, start, mid);
} else { // 包含
leftsum = query(root.left, start, end);
}
}
// 右子区
if(mid < end) { // 分裂 3
if(start <= mid) {
rightsum = query(root.right, mid+1, end);
} else { // 包含
rightsum = query(root.right, start, end);
}
}
// else 就是不相交
return leftsum + rightsum;
}
}
线段树的修改
题目
对于一棵 最大线段树, 每个节点包含一个额外的 max 属性，用于存储该节点所代表区间的最大值。
设计一个 modify 的方法，接受三个参数 root、 index 和 value。该方法将 root 为跟的线段树中 [start, end] = [index, index] 的节点修改为了新的 value ，并确保在修改后，线段树的每个节点的 max 属性仍然具有正确的值。
样例
对于线段树:
Paste_Image.png
代码
/**
* Definition of SegmentTreeNode:
* public class SegmentTreeNode {
* public int start, end, max;
* public SegmentTreeNode left, right;
* public SegmentTreeNode(int start, int end, int max) {
* this.start = start;
* this.end = end;
* this.max = max
* this.left = this.right = null;
* }
* }
*/
public class Solution {
/**
*@param root, index, value: The root of segment tree and
*@ change the node's value with [index, index] to the new given value
*@return: void
*/
public void modify(SegmentTreeNode root, int index, int value) {
// write your code here
if(root.start >= index && root.end <= index) { // 查找到
root.max = value;
return;
}
// 查询
int mid = (root.start + root.end) / 2;
if(root.start <= index && index <=mid) {
modify(root.left, index, value);
}
if(mid < index && index <= root.end) {
modify(root.right, index, value);
}
//更新
root.max = Math.max(root.left.max, root.right.max);
}
}
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