高等数学(五)定积分与反常积分

作者: AdRainty | 来源:发表于2021-08-16 00:51 被阅读0次

高等数学(五)定积分与反常积分
3.22备忘
高等数学
复
微积分、高等数学、数学分析区分
反常积分
反常积分
反常积分
（7.8）James Stewart Calculus 5th
明天微积分，不会啊

（一）定积分的概念

1、定积分的概念

$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}(\lambda \rightarrow 0 \neq n \rightarrow \infty)$
特别地，n等分的情况下
$\int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) d x = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( \frac { i } { n } )$

2、定积分存在的充分条件

f(x)在[a,b]上连续
f(x)在[a,b]上有且只有有限个间断点
f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点

3、定积分的几何意义

$f ( x ) \geq 0$ ， $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = S$
$f ( x ) \leq 0$ ， $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = - S$

（二）定积分的性质

1、不等式

1）若 $f ( x ) \leq g ( x )$ ，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x \leq \int _ { a } ^ { b } g ( x ) d x$
2）若f(x)在[a,b]上连续，则 $m ( b - a ) \leq \int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x \leq M ( b - a )$
3） $| \int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x | \leq \int _ { a } ^ { b } | f ( x ) | d x$

2、中值定理

1）若f(x)在[a,b]上连续，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = f ( \xi ) ( b - a ) , a \lt \xi \lt b$
2）若f(x)，g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号，则 $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) g ( x ) d x = f ( \xi ) \int _ { a } ^ { b } g ( x ) d x , a \leq \xi \leq b$

（三）积分上限的函数

$\int_{a}^{x} f(t) d t$
定理设f(x)在[a,b]上连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) d t$ 在[a,b]上可导，且 $( \int _ { a } ^ { x } f ( t ) d t ) ^ { \prime } = f ( x )$

（四）定积分计算

1、牛顿-莱布尼茨公式

$\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a )$

2、换元法

$\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = \int _ { \alpha } ^ { \beta } f [ Q ( t ) ] Q ^ { \prime } ( t ) d t$

3、分部积分法

$\int _ { a } ^ { b } u d v = u v | _ { a } ^ { b } - \int _ { a } ^ { b } v d u$

4、利用奇偶性、周期性

1）
$\int_{-a}^{a} f(x) d x=\left\{\begin{array}{l}0, f(x)为奇函数 \\ 2 \int_{0}^{a} f(x) d x, f(x)为偶函数\end{array}\right.$
2） $\int _ { a } ^ { a + T } f ( x ) d x = \int _ { 0 } ^ { T } f ( x ) d x$

5、利用公式

1）
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x d x=\left\{\begin{array}{c}\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \ldots \frac{2}{3}, n 为奇数\\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \ldots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}, n为偶数\end{array}\right.$
2） $\int _ { 0 } ^ { \pi } x f ( \sin x ) d x = \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } f ( \sin x ) d x$

（五）反常积分

1、无穷区间上的反常积分

定义：
$\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{t} f(x) d x$
$\int _ { - \infty } ^ { a } f ( x ) d x = \lim _ { t \rightarrow - \infty } \int _ { t } ^ { b } f ( x ) d x$
若 $\int _ { - \infty } ^ { 0 } f ( x ) d x$ 和 $\int _ { 0 } ^ { \infty } f ( x ) d x$ 都收敛，则称 $\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) d x$ 收敛
常用结论：
$\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} d x,\left\{\begin{array}{l}p>1收敛 \\ p \leq 1发散\end{array}, a>0\right.$

2、无界函数的反常积分

设a为f(x)的无界点，则
$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) d x$
常用结论：
$\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} d x,\left\{\begin{array}{l}p \geq 1 发散\\ p<1收敛\end{array}\right.$

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