（7.8）James Stewart Calculus 5th

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Improper Integrals 反常积分

反常积分简单可以分为几种类型

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Type I: Infinite Intervals 无限区间

比如，这个图像，我们求对应的面积

这个时候，我们得到和图中差不多的过程

我们可以发现：

同理，我们可以得到类似的结论（最后一个，就是上面的结果）：

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Definition of an Improper Integral of Type 1 （1型的反常积分的定义 ）

大体（其中一种）也就是这样：（也就是是 convergent 收敛的）

图像大体会为：

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例子

一些例子

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例子1

这里，我们具体收敛与否，只需要看一下对应的面积是否有极限

我们得到对应的面积是无穷大的， 就知道对应的 improper integral 反常积分， 不收敛

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例子2

我们可以根据前面的定义，得到写法：

我们设 u = x ， v = e^x
可以简单用 部分积分 化简：

对应的一项，再用 罗必塔法则 上下求导，得：

这个时候，整体为：

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例子3

这样的，上面也提到过
需要在中间 去一点，分别求两边极限的积分，这里取0这一点：

右边：

左边类似，这时候两边一起为：

所以：

对应的图像，为：

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Type 2: Discontinuous Integrands 类型2:不连续被积函数

有的时候，对应的积分，不连续（可以通过竖线法则， 看能不能每个点都可以取到y值）

例如上面这样的，都是连续的
但是，下图就是例外（不连续，就不扯了）

对应的定义为：

大体就是 ：
对应的描述， 极限存在就是收敛， 否则不收敛的判断
还有 对应值的求值方法

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例子5

先注意，x=2是没有意义的，所以 x=2这块为开区间
我们求积分，可得：

也就是左图的面积：

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例子6

判断是否收敛，我们只要求对应的积分，看极限是否存在
我们求值，可得：

所以，不收敛

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A Comparison Test for Improper Integrals 反常积分的比较测试

自己大体理解为：
大的收敛，小的一定收敛
小的不收敛，大的一定不收敛

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例子10

当存在不好求的地方，我们可以找一个对比
我们知道 1/x 不收敛，而

从而，得出， 这个长的式子是 不收敛的