Ⅴ·结论

87节
我希望在本书中已大致说明，算术定律是分析判断，因而是先验的。这样，算术就会仅仅是一种扩展形成的逻辑，每个算术句子就会是一条逻辑定律，然而是一条导出的逻辑定律。
把算术用于对自然的解释，相当于对观察的事实进行逻辑加工；计算就会成为推理。
数规律不会像鲍曼认为的那样，必须得到实际证明才能应用于外在世界，因为在外界中，即在空间事物的整体中，没有概念，没有概念性质，没有数。因此数规律实际上是不能用于外在事物的；它们不是自然规律。
但是它们一定可以应用于对外界事物有效的判断：它们是自然规律的规律。它们断定的不时自然现象之间的联系，而是判断之间的联系；而且这些判断也包括自然规律。

88节
康德显然低估了分析判断的价值——大概是由于过窄地确定这个概念——尽管他似乎想到了这里使用地这种较宽的概念。如果以他的定义为基础，那么分析判断和综合判断的划分就不是穷尽的。
他考虑到全称肯定判断的情况。在这种情况下，可以谈论一个主词概念，并且问——根据他的定义——是否包含谓词概念。
但是如果主词是一个个别的对象，又怎么办？如果涉及存在判断，又怎么办？在这种情况下，根本就不能在这种意义上谈论主词概念。
康德似乎认为概念是通过指定的标识确定的，但是这属于最不富有成果的概念构造。
/康德的这种立场，还是有着某种形而上学的倾向。就是概念作为思想的基石，它本身是一些先天得到固有内涵的定义的东西。并且是其全部内涵的在使用之前得到定义。
而在弗雷格，概念是处于发展中的。基于需要给出新的概念来。就是说，作为词汇的概念，是一个动态的基于需要而定义出来的过程中。

看一看上面给出的所有定义，几乎找不到这样一种定义。对于数学中真正富有成果的定义也是如此，例如函数的连续性定义。那里没有一系列指定的标识，相反那些规定有一种紧密的，我想说是有机的联系。
人们可以通过一个几何图形作出直观上的区别。如果人们通过一个平面的范围来表现这些概念（或它们的外延），那么与通过一个平面的范围而定义的概念相应的，就是所有这些标识范围共同的那个范围；这个范围被那些范围的边界部分包围。
因此这样下定义时，就涉及——形象地说——以新的方式应用已经给出的线来划出一个范围。但是这里本质上没有出现任何新东西。
富有成果的概念规定划出以前根本没有给定的界线。从它们可以推出什么，无法从一开始就认识到；这里，人们不是从箱中把刚刚放入的东西又取出来。
这些结论扩展了我们的认识，因此人们应该遵循康德把它们看作综合的；然而它们可以被纯逻辑地证明，因而它们是分析的。
实际上，它们包含在定义之中，但是恰如植物包含在种子之中，而不是房梁包含在房屋之中。
人们常常需要许多定义来证明一个句子，因此这个句子不包含在任何个别的定义中，然而却是从所有定义中纯逻辑地得出的。

/种子之于植物，是潜能地是者。房梁之于房屋，是独立部分之于整体。在后者这对关系中，还不是质料和实体之间的关系。因为质料不分有形式的思想，而一块木头作为房梁，已经分有了形式的思想的一个环节或部分了。这个例子，如果该为木头之于房屋，就是恰当的。

并且，算术从康德的综合命题进到弗雷格的分析命题，使得康德把算术的基础置于感性的基础上，而感性是一种非概念东西。而我们的思想，总是运行于概念之中，因此可以把康德的看法看作一种把算术的基础置于一种不作讨论之中。而弗雷格进一步在康德没有作出讨论的地方基于概念作出了讨论。一切可以概念化的对象，都是知识的进展。

因为，感觉的东西除非置于概念之下，没法讨论。只是康德的感性形式，似乎还有进一步讨论的余地。只要改造康德的把感性形式归于纯主观的意识内部的东西的观点，而把它同时也看作对象本身的形式。并且，表象和对象之间也可以进一步贯通。表象总是关于某物的表象。如果追究表象的内容，把它述诸于思想，那么得到的就是一个客观的东西。思想是客观的。只是我们要区别直观和表象/幻觉和错觉/想象。关于直观，我们可以把它看作表示某种客观对象。但是直观或幻觉比如梦的区别，凭感性本身是很难区分的，我们可以凭借理性来作出某种程度的识别，但是最终我们总还是述诸于我们的信念。
童话、神话、宗教故事的存在，以及梦境、精神分裂症的难以辨别想象/幻觉和现实，就说明了信念最终总是根本的。

89节
/康德的知性的演绎部分，要基于其中展现出逻辑的东西而受到理解，而不是基于作为心理的过程而受到理解。

我必须也反驳康德下述断言的普遍性：没有感觉，我们就不会得到任何对象。
0、1是不能通过感觉得到的对象。甚至将较小的数看作是直观的那些人也必须承认，他们无法直观地得到大于1000的1000次方的1000次方 的数，并且必须承认我们还直到许多这样的数。
也许康德在某种不同的意义上使用对象一词；但是在这种情况下，0、1、∞，就完全排除在他的考虑之外；因为它们也不是概念，而且康德还要求人们把直观对象附加到概念上。

/对象的理解，在于满足性。一个对象在于它自身就是一个意识的最终的目的。概念是不满足的，在于一个概念总是在思想中作为关于某物的谓述的东西，它是一种共性，而非个别某物。一个概念也可以看作个别某物，在定义的时候。但是在一个概念定义的思想中，或者一个概念分析中，这个思想考虑的还并非任何事物。所以就事物作为讨论的目的而言，它没有意义。
而一个数，作为对象，它是满足的。就在于数之间可以在算术句子中相互通约化归。在算术句子里，数就成为对象的东西。它是逻辑应用的质料。

弗雷格自述和康德一致的地方。
首要的，康德区分出综合判断和分析判断。他称几何学真命题为综合的和先验的，以此揭示了它们真正的本质。
如果说康德在算术方面搞错了，那么我认为，从根本上说这无损于他的功绩。在他看来，重要的是存在着先验综合判断；至于它们是只在几何中还是也在算术中出现，则不太重要。

/综合命题在于有语言之外的或概念之外的东西被给予出来作为思想中的对象。而数作为对象，它本身可以基于逻辑构造出来。所以数是一种特别的对象，它是基于语言就可以自明地给出来的东西。但是别的事物，在一个指称中，所指作为语言之外的东西总是需要被给予出来。或者说，事物是难以完全通过概念得到表达的对象，相应于感觉中作为的有限的东西，它有着其内涵的无限性。

90节
我并不要求使算术句子的分析性比可能的更多，因为人们总是能够怀疑，是否可以完全从纯逻辑规律进行算术句子的证明，是否在任何地方都没有悄悄插入另一种论据。
甚至通过我为证明一些句子而提出的提示，也没有完全打消这种疑虑；只有通过完善的推理串，其中不出现任何不符合少数几种公认的纯逻辑推理的步骤，才能消除这种疑虑。
至今几乎没有一个证明是以这种方式进行的，因为如果向一个新判断的每次过渡显然是正确的，数学家就会表示满意，而不问这种显然性是逻辑的还是直觉的。
/这里也提出一个哲学和科学以及经验的区别。后者以认识具体的事物或处于某种概念之下的普遍事物的思想为目的。前者则在于指出一种无条件性的思想，或者说，所有条件都已经在语言之内在推理的条件之内给出来了。而一个经验的命题，其对象始终处于语言之外，它是事物。
就此而言，科学比经验走得更远。因为经验思想通过概念判断所到达的只是这一个事物，而科学通过普遍性命题到达的是这一个以及这一个之外的一类事物。而经验思想的妙处在于，趋于到达这个事物的无限内涵，通过一系列思想逼近事物的实在性。这就是艺术的工作。
在艺术中凸显个别的特殊性，或者说个性。而个性或自身性的自觉，即生命自觉的基底。
数学家不在意过程中逻辑的或直觉的区分是对的，不然数学就难以推进到一种可能性的极致的边界。日常语言、艺术，也都是这么一种情况。

这样前进的一步常常是由许多步复合构成的，等价于许多简单的推论，而且除了这些推论，还可能带有一些来自直觉的东西。
人们跳跃式地进行推论，由此在数学中形成了看上去多种多样的推理方式；因为，跳跃越大，它们所能体现的由简单的推理和直觉公理的组合就越多样。
然而在我们看来，这样一种过渡常常显然是直接的，我们意识不到其中间阶段，而且，由于它不呈现为任何一种公认的逻辑推理方式，我们随时准备把这种显然性看作一种直观的东西，把这种推论的真看作一种综合的真，即使在有效性范围显然超出直观范围的情况下，也是如此。

以这种方式不可能把基于直觉的综合和分析清晰地区分开。人们也不能成功地把直觉公理确切无疑地排列在一起，以致根据逻辑规律仅从这些公理就能够进行所有数学证明。

91节
不能拒绝下面地要求：在推理过程中避免一切跳跃。
这一要求很难满足，因为一步一步地进行推理很冗长乏味。每个稍微有些复杂地证明恐怕会长的吓人。
/这体现在编程里，就可以通过模块化调用来简化这种重复工作。

此外，由于语言中明确形成的逻辑形式过于多样，这就使人很难划分出一类推理方式的界线，这类推理方式满足所有情况并且很容易被忽略。

为了克服这种弊病，我设计出我的概念文字。它应该使表达式更加简明清楚，并且能够像运算那样以少数几个固定的公式来进行，因而不出现与那些一劳永逸地建立起来的规则相悖的过渡。
这样，以这种方式，不必从直觉借用任何公理，我就证明了一个句子，而这个句子，人们一眼看上去就想把它看作一个综合句，这里我要把它表述如下：
如果一个序列中每个项与其后续的关系是一一对应的，而且如果在这个序列中m和y跟着x，那么y在这个序列中就在m前面或与m重合或跟着m。
从这个证明可以看出，扩展了我们的认识的句子可以包含分析判断。

/在概念文字的推理里，我可以把条件和推论看作一个整体知识的不同部分。譬如用一个两位二进制数表示一个基于命题的真值而进行的推理，这里的情况就是某种程度地指出这个二进制数的值。比如弗雷格的排除第三种情况，就是对于这个值的一种指出。而肯定或否定其中一个命题，都是确定了其中一位数的值。而推理的结论命题，也总是关于这个两位数的值的某种确定。推理的极端不过完整地给出这个数的值，或者说这个数的每位的值。最弱的情况，则是对于这个数的4种情况中某一种情况的否定。
如果把条件和推理看作一种对于多元判断的多元真值的逐步指出，虽然在条件中，只是基于普遍性而作出的一种假设。本质上，推理只是或者基于整体情况的某种指出而指出部分命题的真值情况，或者反过来。
比如，我们可以在一个二元真值命题ab的真值情况中指出肯定第一种，即a假b假，进而分别指出a假，和b假。这个条件和结论的先后也可以倒过来。
那么，弗雷格设计概念文字的初衷呢？只是指出条件和结论之间推理的充分必要性。就是说，只把必要的东西带入推理中来。不充分的条件会使得一个推理不成立，而没必要的东西看作条件，则会错误地理解一个结论的原因，或者说混淆对于结论的原因或根据的把握。

有年纪和经历带来的阅历，但是并不以这种阅历作为推动行动的充分根据的东西，只是以之作为一种材料认知环节的形式，而述诸于思辨获得整体上的统一形式并表达于相应的行动。使得人成为一种开放而趋于纯粹的存在。