极限的定义依赖度量，因为无限接近这个概念需要一个刻画“无限接近”的工具，在一维的实数集里就是度量
d(x,y) = |x-y|
二维可以引申出一个欧式距离，也可以定义别的距离。
度量是对距离的一个抽象。
三个特性。
1.正性
2.对称性，两个对象的度量d(x,y) = d(y,x) 不会有什么区别
3.三角不等式成立 d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z) 这实际上说的就是远近的一种关系，即绕路总是会更加远一点。
想象一个加权的图里，绕路会有更短的路径，这种图示没有标准度量的，每一条边的权重都是一个赋值。
如果考虑障碍物，地球上两个地点的距离不太确定，但是考虑直线地面距离，也就是定义两个地方的距离d是一个穿过球心和这两点(来源于欧几里得几何的一个结论，平面上三个不共线的点可以确定唯一的一个圆)的圆弧，取较短的那段长度作为距离。
那么这个d会满足 1,2,3 三条特性。
抽象化度量之后，可以用更一般的语去描述极限。
一个集合被度量化后就形成了一个度量空间。
度量空间中一旦确定了度量和所处集合，可以给出开集，闭集的概念。
集合的开闭是为了刻画什么？
我理解的是，主要是为极限和聚点（极限点），一维的 上的闭区间有很多有意思的性质
试列举一些
- 连续函数必然是一致连续
- 可以求积分
- 有极限点。闭区间上的每个点实际上都是极限点。
- 可以总结出闭区间套定理——大概是一组不断嵌套的闭区间
并且
这个区间最终会退化到 [a, b]上的一个点
闭区间稍稍拓展就形成了所谓的有界闭集。
在有界闭集上又能总结出几个有意思的定理。
a. Hein-Borel 定理。有界闭集，并且是无限，就会有极限点。
b. 魏尔斯特拉斯收敛定理 有界闭集上的序列，存在收敛的子序列
Heine-Borel 定理的意思形象地可以看成，在一个闭合空间里，如果不断投入一个很小的球，它们最终会在至少一个点上无限挤压，收缩到一个极密的点上
Weierstrass定理则是从序列的角度陈述类似的意思
紧性
有界闭集另一个看起来显得奇怪的特性——有限开覆盖定理
如果一个有界闭集被一组开集的并覆盖, 符号表示为
那么总是能在这组开集中找出有限个开覆盖将 E 盖住
好像很显然。
甚至我们初学时，感觉只有是有界集，那就能做到。
实际上不是的。对于不闭合的有界集，可以构造出一个找不到有限开覆盖的开集族
比如在一维的 上
开区间 的 一个开覆盖可以是
因为任意 E 的元素 都可以找到一个
使
但是这个开覆盖中没有有限的子覆盖。
因为无论怎么取，都有元素"漏"出去
原因在于开区间不闭合。
紧性是对有界闭集的抽象
数学中的一种抽象方式是，在更具体的对象上研究一类事务的特性，比如开区间，得出一些很一般的特性，然后再将一般特性抽象出更本质的特性，引出更一般的概念。
紧致性就是如此，有限开覆盖的特性是关于开集的，我们知道开集可以不依赖度量来定义，那么紧致性是否也可以脱离度量来陈述。
这使得紧致性的概念可以延展到一般的拓扑空间。
另一个好处是起因于开闭的概念的一种相对性。存在一些很特别的集合，让一个集合因为它安置的方式能引起开闭是相对的。
一个例子就是当 一维 的开区间(0,1)安置在二维空间
时，它的开性就失去了。
而紧性可以克服这些弱点。
说明紧性是具有一般特性的概念。
总结
1.紧性是从有界闭集一般化而来，而有界闭集是从开区间推广的概念
2.集合的开闭是从度量空间中引出。集合的开闭具有相对性。
3.有限开覆盖的特性是比集合开闭更一般的性质。
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