【大概念1】数：实数集是无限的，每个实数都可以与数轴上唯一的点相对应。
数学理解的例子：
(1)数数。 *基数表示物体有多少个。序数表示物体的第几个。计数时，最后个数表示物品的总数，这是一个累积计数。 *以不同的顺序数一组数，并不会改变总数。 *数和匹配的符号，可以准确地告诉一组中有多少项。 *每个数可以与数轴上的一个点一一对应，但是数轴上有许多点不能通过数来命名。 *计数单位相同的情况下，相邻两数差的绝对值相等。 *整数中1是最小的计数单位，在数轴上没有最大的计数单位。 *数可以用来表示一个序列中物体的位置(例如3号)，数可以用来命名某物(例如社保卡号)。
(2)正整数。 *0是一个数，用来描述一个小组中没有数量。 *0与数轴上唯一的点相关联。 *每个正整数可以与数轴上唯一的点相关联，但是数轴上有很多点不能用正整数来命名。 *0是最小的正整数，数轴上没有最大的正整数。
(3)整数。 *整数在数轴上的相反数是整数，0的相反数是它自身。 *每个整数可以与数轴上唯一的点相关联，但数轴上有很多点不能用整数命名。 *整数和它的相反数在数轴上离0的距离相等。可·数轴上没有最大或最小整数。
(4)分数。 *一个分数表示将一个整体(区域、集合、片段)分成相等的部分。 *分数的分母表示整个单位被分成多少个相等的部分，分子表示有多少个相等的部分。*分数与整体的大小有关。*分数表示除法，在数轴上可以表示为两种方式。例如，在数轴上2÷3可以解释为一个分数单位是三分之一，共有2个分数单位(2x三分之一)，或2个整体单位之中的三分之一(三分之一x2)，每一个都与数轴上的同一点关联。 *每个分数都可以与数轴上唯一的点对应，但不是所有整数之间的点都可以用分数来命名。 *数轴上没有最小或最大的分数。 *数轴上任意两个分数之间的分数个数是无限的。 *小数是分数的另一个名称，因此可以与数轴上的对应点相关联。 *整数可以写成分数形式。 *百分数是小数的另一种写法，它将部分与整体比较，整体是100，因此可以与数轴上的对应点相关联。 *百分比与整体的大小有关。
【大概念2 】十进制计数法：十进制计数法是一种使用数字0-9十个基本数，用十进为一组和位值来记录数的方案。
数学理解的例子：
(1)正整数。 *数可以用物体、字母和符号来表示。 *对于任何数，都可用含有多少个一、十、百等表示出来。 *小数点向右移动一位相当于原数的10倍。*可以把0到9任何一个数相加组合得到数的值。 *当使用位值解释数时，必须将十、百等视为单个实体(例如，100是一个计数单位，它表示10个10或100个1)。
(2)小数。 *小数的位值是正整数位值的扩展。 *十进制计数法无限延伸到非常大和非常小的数(例如百万分之一)。
【大概念3 】等值性：任何数、度量、数值表达式、代数表达式或方程可以进行量代换。
数学理解的例子：
(1)数和计算。 *数可以以无限多的方式分解成若干部分。 *数可以使用位值以等值方式命名(例如，2个百加4个十等于24个十)。*数的表达式可以以无限多不同的等值方式命名*小数可以用无穷多个不同等值方式命名(例如，0.3=0.0=0.10+0.20)。
(2)数论与分数。 *每一个合数都可以表示为若干质数之积，而不必考虑顺序(算术的基本定理)。 *每一个分数/比率都可以由一组不同但相等的分数/比率表示。
(3)代数表达式和方程。 *代数表达式可以用无数不同的等值方式命名[例如，2(x-12)=2x-24=2x-(28-4)]。 *一个给定的方程可以用无穷多个具有相同解的不同方法表示(例如，3x-5=16和3x=21是等价方程，它们有相同的解：x=7)。
(4)单位换算。 *可以使用不同的单位(例如，2英尺3英寸=27英寸)以等值方式表示测量值。*一天中给定的时间可以用多种方式表示。 *对于大多数货币金额，有不同但有限的货币组合，显示相同的金额。
【大概念4 】比较：数、表达式和度量可以通过它们的相对值进行比较。
数学理解的例子：
(1)数和表达式。 *一对一的对应可以用来比较集合。*数轴上一个数右边的数是较大的数。*数可以用大于、小于或等于来比较。*通过重复进行成对比较，可以对三个或更多的数进行排序。*通过分析相应的位值，可以比较正整数和小数。*可以使用大于、小于或等于比较数值和代数表达式。
(2)分数、比率和百分比。*部分与整体的比较可以用分数来表示。*比率是两个量相比较的结果；不同类型的比较都可以用比率表示。*比率给出了被比较的数量的相对大小，而不一定是实际的大小。*等级是比较不同数量的比率的特殊类型。*百分数是一种特殊类型的比率，其中一部分与整体的100进行比较。*事件的概率是一种特殊类型的比率。
(3)几何和测量。*长度可以用长、短、相等来比较。*质量/重量可以用更重、更轻、相等等概念来比较。*面积、体积、容量和温度的度量可以用大于、小于、相等概念进行比较。 *事件的持续时间可以用长、短、相等等概念进行比较。*角度可以用大于、小于、相等等来比较。
【大概念5 】运算意义与关系：相同的表达式(如12-4=8)可以与不同的现实情况相关联，不同的表达式可以与相同现实情况相关联。
数学理解的例子：
(1)整数。*一些涉及连接、分离、部分一部分-整体或比较的问题可以使用加法来解决；其他的可以用减法来解决。*减法是加法的逆运算。*任何减法计算都可以通过减数相加来解决。 *添加大于零的数量得到的总和大于任何加数。 *从另一个正整数中减去一个正整数(0除外)得到的差值小于被减数，*关于求等组的和、分为相等的组、比较或组合的实际问题可以使用乘法来解决；另外的可以用除法解决。 *除法是乘法的逆运算。 *任何除法运算都可以用乘法来解决。 *两个大于1的正整数相乘得到的乘积大于两个因数中的任何一个。·整数运算法则与正整数运算法则相同。
(2)有理数(分数和小数)。 *对正整数进行加减运算的运算法则适用于对分数、小数进行加减运算。 *正整数和分数(小数)、分数(小数)和正整数、分数和分数(小数和小数)的乘积都可以与表达不同的现实世界相关联。 *分数(小数)的除法运算与表达不同的现实世界相关联。 *分数和小数的加减运算法则与正整数的加减运算法则相同。 *两个真分数的乘积，每一个都小于1，小于任何一个因数。
【大概念6 】属性：对于给定的一组数，有一些关系总是正确的，这些是算术和代数运算中的规则。
数学理解的例子：
(1)运算规则。*整数的性质某些运算适用，某些运算不适用(例如，可交换性质适 用于加法和乘法，不适用于减法和除法)。 ··两个数可以以任何顺序相加；*两个数可以任意顺序相乘。*一个数与零的和还是这个数；任何非零数和1的乘积都是这个数。*三个或三个以上的数可以分组并以任何顺序相加(或相乘)。
(2)等值性。 *如果等式两边加减的实数相同，则等式保持不变。 *如果等式两边乘或除以相同的实数(不是除以0)，等式保持不变。*两个数量等于第三个量，那么这两个量相等。
【大概念7 】基本事实和算法：有理数运算的基本法则是使用等值原理让计算变得更简单。
数学理解的例子：
(1)心算。 *数的关系和序列可用于心算(多一个，少一个；多十，少十；30比28大2；从50000可以一千一千地数49000，48000，47000……)。*数可以被分解并以不同的方式分组，从而使计算更简单。
(2)正整数的基本事实和算法。 *利用一些基本的加法和乘法规则，可以将未知事实与已知事实联系起来，通过已知事实，获得未知的答案。 *通过思考相关的加法运算法则可以发现减法运算法则。*通过思考相关的乘法运算法则可以发现除法运算法则。*当0除以任何非0的数时，商为0，0不能为除数*加法可以用来检验减法，乘法可以用来检验除法。 *逢十进一是计算系统的重要基准，考虑数逢十进一的关系可以使加减法更容易。 *当除以正整数时，有时会有余数，余数必须小于除数。*解决问题时，现实情况决定了余数需要如何理解和处理。
(3)有理数的算法。 *具有不同分母的分数被转化为具有相同分母的等值分数，以便进行加减运算。*两个分数的乘积可以通过分子相乘和分母相乘得到。 *一个分数除法计算可以变成一个等值的乘法计算。*除法中，通过将除数和被除数进行适当的十进制变换，变成与正品数除法等值的计算。 *小数表示的货币数量可以使用与正整数相同的算法进行加减。
(4)测量。 *长度运算的算法是有理数算法的改进。 *长度测量(英尺和英寸)可以加减，其中1英尺等于12英寸。*以分钟和秒为单位的时间可以加减，其中1分钟等于60秒。
【大概念8 】估算：数值计算可以通过用其他相近且易于心算的数字来代替进行近似计算。测量过程中，可以使用已知的参考值作为单位来近似测量。
数学理解的例子：
(1)数值。 *用来进行估算的数决定了估算值是高于还是低于准确答案。*除法算法利用数值估计和除法与乘法之间的关系来求商。*像二分之一(0.5)和四分之一(0.25)这类最简分数可以用来估计涉及分数和小数的计算。*估计可以用来检查用纸笔或计算器等方法所求答案的合理性。
(2)测量。 *长度、面积、体积和质量/重量的测量可以适当使用已知参考资料进行估计。*给定区域内的大量对象可以通过计算子区域的数量来进行估计。
【大概念9 】模式：数学情境中，以一种可预测的方式呈现的一些数或物体可以被归纳出规律和可描述的关系。
数学理解的例子： *在数轴上间隔数数可以生成数字模型。 *十进制记数法结构产生了许多数字模型。*乘法的乘积中有0、1、2、5和9的模式。*使用十进制，正整数和小数相乘或相除时会出现一些模式。*某些序列中连续项之间的差是常数。 *在某些序列中，连续项的比率是一个常数。*模式中的已知元素可用于预测其他元素。*一些几何对象的序列以可预测的方式变化。
【大概念10 】变量：可以使用变量、表达式和方程抽象地转化、表征数学情境与结构。
数学理解的例子： *数学中使用字母来表示概括性、方程中的未知数和量之间的关系。*一些数学短句可以用代数表达式表示(例如，比一个数小5可以写成n-5)。 *一些问题可以用代数表达式来表示(例如，苏珊的身高是汤姆的两倍，如果Ｔ=汤姆的身高，那么2T=苏珊的身高。)*代数表达式可以用来概括平面上物体的某些变化。
【大概念11 】比例：如果两个量成正比例变化，则这种关系可表示为线性函数。
数学理解的例子： *比例是数量的乘法比较。 *比例给出了被比较的数量的相对大小，而不一定是实际的大小。 *通过找到第二个项为1的等值比例，可以将比值表示为计量单位。·比例是关系之间的关联。 *如果两个量成正比例关系，对应项的比值是常数。 *如果两个量成正比例关系，则常数比率可用最简形式(组合单位)或单位量表示；常数系数是相关线性函数的斜率。 *可以有几种解决比例问题的方法(例如，求单位量、叉乘)。 *当以有序对(第一项，第二项)的形式绘制等比值项的图形，并将这些点连接起来时，会得到一条直线。 *如果两个量成比例的关系，那么这两个量要么成正比例关系(一个量增加，另一个量也随之增加)，要么成反比例关系(一个量增加，另一个量随之减少)。 *比例尺图中有相似的图形，相似图形的对应部分是成比例的。 *在任何一个圆中，圆周长与直径之比都是相同的，用圆周率表示。*比率可用百分比和概率这样的比例形式关联。
【大概念12 】关系和函数：使用数学规则(关系)，可以把一个集合中的元素对应于另一个集合中的元素。函数这个特殊的规则，让一个集合中的每个元素，在另一个集合中都有唯一的元素与之对应。
数学理解的例子： *数学关系可以用单词、表格、图表和方程来表示和分析。 *在数学关系中，一个量的值取决于另一个量的值。 *关系中数量的性质决定了输人和输出什么值是合理的。 *关系图可以根据一个量的变化相对于另一个量的变化来分析。 *可以通过分析关系图来确定关系是不是函数。*在y=ax的线性函数中，a是变量常数，表示y对x的变化率。*一个线性函数的解在作图时形成一条直线。 *水平线的斜率为0，而垂直线没有斜率。 *函数方程中的参数以可预测的方式影响函数图形。
【大概念13 】方程和不等式：数和代数的规则可以与等式的概念一起用于转化方程和不等式，从而求解。
数学理解的例子： *方程的解是使方程成立的未知数的值。 *等式和可逆运算的性质可用于生成等价方程并求解。 *求解方程的技巧首先是将方程转化为等价方程。*线性或二次方程的一个或多个解可以在有序对表或相关函数的图中找到。 *求解方程的技巧可以应用于求解不等式，但涉及负数时，需要考虑不等式符号的方向。
【大概念14 】形状和立体图形：有或没有曲面的二维和三维物体都可以通过它们的特性来描述、分类和分析。
数学理解的例子： *点、线、线段和平面是空间物体的核心属性，现实世界的情况可以用来考虑这些属性。*多边形可以由它们的边和角度来描述。*多边形可以由其他多边形构造或分解为其他多边形。*三角形和四边形可以根据其边的相对长度和角的大小来描述、分类和命名。*所有多面体都可以完全由它们的面、边和顶点来描述。*一些形状或形状的组合可以放在一起而不重叠，以完全覆盖平面。 *对大多数形状和实体进行分类的方法不止一种。
【大概念15 】方位和位置：空间中的物体可以有无数种方向，物体在空间中的面可以被定量描述。
数学理解的例子：
(1)直线和线段。 *同一平面上的两条不同的线要么平行，要么相交；空间中两条和的线平行、相交或异面。 *平面上两条相交的线形成的角有特殊的联系(如对顶角)。 *可以使用多角度描述角的开口大小。 *有些角根据它们的位置或度数有特殊关系(如互补角)。 *在平面上，当一条直线与两条平行线相交时，形成的角有特殊关系。
(2)物体。 *物体的方向不会改变物体的其他属性。 *笛卡尔坐标系统使用两条相交于0点的垂直数轴来命名点在平面上的位置；该系统可以扩展到空间中点的命名。 *平面上的每一点都可以用一对有序的数唯一地描述，第一个数表示在水平数轴上距0左右的距离距离，第二个数表示在垂直数轴上距0上下的 距离。
【大概念16 】转换：空间中的物体可以用无数种方式进行转化，这些转化可以用数学方法描述和分析。
数学理解的例子：*图形通过平移、旋转和对称保持一致。 *相似形(更大或更小)对应的边成比例，对应的角全等。*代数表达式可用于概括平面内物体的转换。 *有些形状可以分成两半，其中一半正好在另一半的上面折叠(线对称)。*有些形状可以绕着一个点在不到一个完整的旋转周期内旋转，并准确地落在自己的上方(旋转对称)。
【大概念17 】度量：物体的某些属性是可测量的，可以使用单位量进行量化。
数学理解的例子： *测量包括一个物体的选定属性(长度、面积、质量、体积、容量)以及被测量物体与相同属性的元素的比较。 *测量单位越大，测量出的物体含有的单位就越少。 *要测量的属性的量级和所需的精度决定了所需测量单位的匹配性。*周长一定时，面积可以是零。周长一定和边数一定时，这个边数的正多边形面积最大。
【大概念18 】数据收集：有些问题可以通过收集和分析数据来解答，所要解答的问题决定了需要收集哪些数据以及如何最好地收集数据。
数学理解的例子： *一个适当选择的样本可以用来描述和预测总体。 *样本的大小决定了样本数据反映总体的程度。
【大概念19 】数据表征：可以使用表格、图表和图形可视化地表征数据。数据的类型决定了可视化表征的最佳选择。
数学理解的例子：*每种类型的图表最适合特定类型的数据。*能够在数据中观察到规模影响模式。
【大概念20】数据分布：有专门的测量方式来描述集合的集中和离散。
数学理解的例子：*数值集合的最佳描述符(例如，均值、中位数、模式)是由数据的性质和要回答的问题所决定的。*异常值以不同的方式影响平均值、中位数和模式。*通过数据分布数值测量，增强了对数据的解释。
【大概念21】概率：事件发生的概率可以用0到1之间的数来描述，并用于对其他事件进行预测。
数学理解的例子：*概率可以为预测提供基础。*有些概率只能通过实验来确定。*肯定会发生的事件总是会发生(概率是1)，不可能的事件永远不会发生(概率是0)。
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