这次讨论班主要是回顾了还有补充了之前关于Gaudin model还有CY 4D gauge field theory 的一些内容还有做一些阶段性的总结。
一个经典的2维可积场论是又一个Lax connection定义的。这个Lax connection满足3个条件：
a）他的components是在一个黎曼面上的半纯函数。
b）他满足on-shell flatness condition。
c）由其构造的integrals of motion 满足involution 条件。
从这种意义上来说，对可积场论的分类就变成了对Lax connection的分类。条件a)是说Lax connection 是一个定义在黎曼面上的半纯的 g-valued 1-form，他的moduli依赖于黎曼面的genus。比如，如果选取的黎曼面是黎曼球的话，那么上面的半纯函数的data 就是一个常数，他的zeros and poles。条件b)是说 Lax connection 的两个分量的data之间不是独立的。条件c)是处于物理的考虑，最后我们要引入一个Poisson bracket的结果来实现一个物理models。
最近出现了两种构造可积场论的方法。其一是基于affine Gaudin model（AGM）的Hamiltonian formalism approach，所以这个方法manifest 条件 c)。另外一个是基于4D Chern-Simons 理论的Lagrangian formalism approach，这个方法manifest 条件 b)。当然两种方法是紧密相关的，只不过还不存在一个方法将两者完全统一。
这次还是讲了很多内容的，首先是讲了twist function。比较简单的理解是，在standard r-matrix的上面乘上一个factor还是classical YB equation 的解，因为CYBE是齐次的。可能从无穷维（loop）algebra 上面可以更自然理解这个factor。Gaudin model 或者是 Zakharov-Shabat construction都是基于一个quadratic Lie algebra 上的。有限维的代数自然对应于有限维自由度的可积理论。2维的可积场论也就对应了无穷维的代数，一般考虑的就是一个affine Kac-Moody algebra。最后再通过一个Poisson map来实现一个真正的物理模型。但是无穷维代数天然要面对一个需要正规化的问题。比如涉及到的无穷求和都需要一个completion。下面我们用代数的方法来看，completion的问题怎么影响r-matrix。
利用代数的方法都还，我们要引入modified classical YB equation （mCYBE）还有 R-operator kernal 的概念。r-matrix 本身是定义在 g tensor g 上面的，如果trace 掉 第二个 g我们得到一个定义在代数 g上的operator，一般称为为R-operator，这样r-matrix 需要满足的方程会诱导一个R-operator 需要满足的方程。结论就是满足 mCYBE 的 R-operator 和 满足 mCYBE 的 r-matrix 有一个一一对应，后者也称为前者的kernal。
定义在代数 g上R-operator 可以用Adler-Konstant-Symes （AKS）scheme 得到，然后我们可以求他的kernal 从而得到r-matrix。我们发现两者的关系涉及一个在无穷维的代数里区trace，所以需要一个completion。在最直接的completion下standard 的R-operator 正好对应 standard r-matrix 的principle value. 也就是说 standard r-matrix 的principle value 满足 mCYBE，而standard r-matrix 自己满足 CYBE。我们可以换一个completion 的方案：在无穷trace里加test一个半纯函数，就会得到一盒满足CYBE不同的r-matrix，也就是twisted r-matrix，带有twist function的解。
####AGM
AGM 除了一个quadratic Lie algebra 之外的输入就是，一个twist function：这里包括twist function的定义域，一个黎曼面，还有twist function 的pole 的位置 （site），order m，还有留数。在每一个site上面有一个 g 的dual algebra gstar 作为 Poisson manifold，上面的observables的代数是一个Takiff algebra。最后还有每一个site的权重系数，如果考虑relativistic model的话，这个系数只能为1或者-1.
####4D CS
CY Chen-Simons 理论的一个输入是一个holomorphic 1-form， 他的component就类似上面的twist function。还有一个输入是disorder defect 的性质。
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