今天的讨论班本来想尝试讲Gaudin model，承接上次想融合CY的规范场论的方法得到一个更一般的构造可积模型的方法，具体读文章的时候，发现除了构造可积模型之外，Gaudin model这篇文章其实背后有一个更宏大的数学背景和动机：证明ODE/IM correspondence。所以这次就很简单的讲了一下这个correspondence。然后花了很多时间和大家聊了一些对于数学的疑惑，起因还是Langlands program，然后延伸到一些模糊我自己都不知道算不算上科学的问题，很感谢和庆幸有数学背景很好的伙伴陪我一起“胡思乱想"。
一个假想问题还是对可积场论或者更一般的可积模型进行分类。类似于Drinfeld的对于YBE的研究，可以期待这里会emerge一个新的数学结构或者说是数理逻辑(原谅我找不到更准确的词来表达)。第一个问题可能是找到可积模型的"moduli space"，就是我们要用什么来characterize一个可积模型呢？好的我们可以认为可积模型是依赖于一个可积结构，如果两个可积理论具有同样的可积结构，不管两个理论的物理自由度是什么，我们应该是可以把这两个理论等价的。那么问题就变为什么是可积结构？Yangian symmetry似乎是，Bethe ansatz似乎是，但是有些可积系统可能不具有严格的Yangian symmetry，Bethe ansatz本身也没有什么数学结构。一个更大的问题，这两个概念都很universal，并不能用来区分不同的可积系统 。一个更好的candidate是functional relation，比如Baxter TQ relation。这也是可积系统的一个核心逻辑，把就矩阵本征值的问题转化为一个求解 a set of functional relation的问题。而且的确这些functional relation表述了一个代数结构的，比如Y-system和代数的表示有关。ODE/IM correspondence是说，这个代数结构和一个1维Schrodinger equation的波函数满足的代数结构一样。从Schrodinger equation的角度出发，他的解的代数结构是由Schrodinger equation里面的potential 来决定的。所以我们也可以认为，可积理论里面的本征态对应了这个potential。这样的话，我们认为可积结构就是ODE/IM 的一种具体对应。
一些证据表明ODE/IM 背后的数学逻辑是geometric Langlands correspondence。Gaudin model可以作为具体geometric Langlands correpondence 的 realization。所以整合以上可得，通过Gaudin model我们可以对可积结构有一个很好的描述。
令我困惑的是Langlands correspondence 或者朗兰兹纲领。这个我熟悉的数学结构完全不同。以我粗浅的理解朗兰兹纲领是说不同的数学领域是可以联系起来的。但是利用朗兰兹纲领来解释ODE/IM，我感觉只是把一个物理correspondence换成了一个数学的correspondence，但是具体这个correspondence的逻辑并没有说明白，换句话就是说朗兰兹纲领只是一种observation 或者expectation，而不是一种解释。可能需要更多的对朗兰兹纲领的理解。以此为契机，还聊了一个不太科学的问题：就是我们是不是应该期待存在一个数理逻辑（还是找不到一个更好的词）来解释物理？或者来解释一个分类（比如对可积理论的分类背后真的存在一个逻辑吗？而不是穷举？）？甚至开始怀疑“解释”本身的意义，什么是解释？什么是数理逻辑？突然哲学，突然神学，怀疑人生。。。。。
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