莫兰指数：公式剖析篇（地理学角度）

作者: 寻松点点 | 来源:发表于2020-03-16 22:59 被阅读0次

莫兰指数的解释：
$Moran's \ I=\frac{考虑地理相邻关系的数据X的方差} {仅是简单的统计学关于数据X的方差}$

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在莫兰指数I公式中，把公式分解成为红框的三个部分。

从无到有为构建；从有到零为剖析。

既然莫兰指数公式已经为前人构建好了，作为理解学习的方向就是一个逆推理解的过程。

地理学角度引入莫兰指数

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A~F六个区域的空间邻近如图，各个区域感兴趣的数据X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]

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X总和： $Sum=\sum\limits_{i=1}^6{x_i}= 10.2$
X的平均数 $\bar x = \frac {Sum}{n}=\frac{10.2}{6}= 1.7$
各个数据 $x_i$ 到平均数 $\bar x$ 的差值（两个数字之差可以理解为地理上的距离）,如： $x_1- { \bar x}$

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一般求出的 $x_i- { \bar x}$ 有正数，也有负数。虽然负数可以表示方向相反，但在求累积距离时候正负抵消结果为零。距离和为零本身不符合距离求和要求，那么加个绝对值呢？就可以把负号去掉了呀。可计算机计算绝对值比较麻烦，于是 $(x_i- { \bar x})^2$ 被引入来替代绝对值计算。

如果a为距离，那么 $a \cdot a$ 不就是a为边的正方形面积了嘛？
所以可以理解公式中的：

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如果把1部分的n除下来那么3部分就是X的方差：

$\sigma^2 = { \bar x}^{2}= \frac { {\sum\limits_{i=1}^n {(x_i - \bar x)}^2 }} {n}$

刚才的分析还停留在简单的统计学特性的计算上，研究背景是数据在地理学上的分布特性。那么如何体现地理学的内容呢？

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再次回到这个区域分布图上，比如A区域与B、C区域相接近，但与剩余的D、E、F区域不接近。

相邻接的区域之间会有一定的联系；不相领的区域联系性不强。
对这句话的理解可以简单举个例子：上学的时候，你周围的同学和你关系会比较好，远离你桌位的同学一般很少会有联系（你跑去找远离你的同学行为为特例，在此不考虑）

所以简单的统计学不能很好的体现数据的这种地理特性，就需要考虑地理邻近关系对数据的影响。
为了体现这种地理邻近关系，需要量化这种关系，于是定制规则区域相邻近记为1，不相邻记为0；区域与区域自身的关系记为0。
相邻关系 $=$
$\begin{equation*}w_{ij}= \end{equation*} \begin{cases}1 \quad 区域相邻\\0 \quad 区域不相领；区域自身相邻\end{cases}$

在这种约定下，可以得到一个区域间的关系矩阵：

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区域相邻近，那么就会有一天公共边；那么一条公共边两侧就分布着数据 $x_i和x_i$ 。
构造面积数学表达：
$({x_i} - {\bar x})({x_j} - {\bar x})$

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把地理邻近矩阵和面积表达式联系到一块：加权
$w_{ij} \cdot ( {x_i} - \bar x)({x_j} - {\bar x})$

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以A区域为基准研究它与其他区域的关系：

区域	A	B	C	D	E	F
A	$0 \cdot ({x_A} -{\bar x})({x_A} -{\bar x})$	$1 \cdot ({x_A} -{\bar x})({x_B} -{\bar x})$	$1 \cdot ({x_A} -{\bar x})({x_C} -{\bar x})$	$0 \cdot ({x_A} -{\bar x})({x_D} -{\bar x})$	$0 \cdot ({x_A}-{\bar x})({x_E} -{\bar x})$	$0 \cdot ({x_A} - {\bar x})({x_F}-\bar x)$

同样的再分析剩余的B、C、D、E、F区域，于是得到一个由元素 $w_{ij} \cdot ( {x_i} - \bar x)({x_j} - {\bar x})$ 构成的矩阵。

方便求这些式子的和，记求和式：
$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} w_{ij} \cdot ({x_i}-{\bar x})({x_j}-{\bar x})$

那么表示区域的矩阵元素的总和可以表示为 $S_0$ :

$S_0=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}$

类比方差 $\sigma^2$ 是由 ${\sum\limits_{i=1}^n {( {x_i} - \bar x)} \cdot {({x_i} - {\bar x})} }$ 和参与的数据总数n之比。
那么可以构建类似的考虑地理相邻关系的数据X的方差：
$\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij} \cdot ({x_i}-{\bar x})({x_j}-{\bar x}) }{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij} }=\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij} \cdot ({x_i}-{\bar x})({x_j}-{\bar x}) }{S_0}$

莫兰指数公式理解

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于是莫兰指数可以看成上下两个部分：
上部分（蓝框）：考虑地理相邻关系的数据X的方差
下部分（红框）：仅是简单的统计学关于数据X的方差

好看的莫兰指数公式

在理解中，把莫兰指数公式分成上下两个部分，于是显得公式很拥挤。在人们的印象中，分数式就是分子分母，没有什么分数嵌套分数的表达。于是，常见的莫兰指数为：
$I=\frac {n}{S_0} \cdot \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}(x_i-\bar x)( y_i-\bar y) }{\sum\limits_{i=1}^n {(x_i-\bar x)}^2 } =\frac{ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}(x_i-\bar x)( y_i-\bar y) }{ S^2 \cdot \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}}$

这样一整理，莫兰指数就符合分数式的标准了。这样虽然好看，计算也很简明，但也遗失了部分信息：为什么它就长成这样的呢？

个人的对公式的理解：
计算的时候采用化简后的计算式；在理解公式构建思想过程中，采用丑陋的定义式。

莫兰指数：公式剖析篇（地理学角度）

地理学角度引入莫兰指数

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莫兰指数公式理解

好看的莫兰指数公式

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