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齐奥尔科夫斯基火箭方程

齐奥尔科夫斯基火箭方程

作者: 以宇宙为家_周宇恒 | 来源:发表于2020-07-11 23:10 被阅读0次

    火箭方程将火箭的速度增量、火箭排出推进剂(燃料+氧化剂)的速度(即排气速度)以及火箭的初始质量(推进剂质量+结构质量+载荷质量)与最终质量(即初始质量-推进剂质量)联系了起来。

    图1

    图1中的F代表火箭得到的推力,V_exhaust或V_ex代表排气速度,dm代表质量变化量(即所排出推进剂的质量),dt代表时间增量,dm/dt为所排出推进剂的质量流率,m代表火箭任意时刻的瞬时质量,dv/dt为火箭加速度,dV或ΔV代表火箭速度增量,V_f代表火箭末速度,V_i代表火箭初速度,m_f代表火箭最终质量,m_i代表火箭初始质量。

    对方程两边积分可得,火箭的速度增量(ΔV)等于排气速度(V_ex)与火箭初始质量和最终质量之比(m_i/m_f)的自然对数的乘积。由此我们可以看出,火箭排出推进剂的速度对于火箭能得到的速度增量至关重要,提高排气速度便可成指数级地降低推进剂质量比、提高火箭初始质量中可用于结构与载荷之部分的占比、提升火箭性能。

    图2

    图2更为详尽,但其核心内容与图1相同。其中M代表火箭任意时刻的瞬时质量,u代表火箭速度,v代表排气速度,A代表排气面积(指火箭发动机排气喷管的面积),p代表排气压力,p_0代表气压。

    dt代表时间增量,dm代表质量变化量(即所排出推进剂的质量),m上加一点代表所排出推进剂的质量流率。火箭瞬时质量与速度增量的乘积(M*du)减去质量变化量与排气速度的乘积(dm*v)的差便是整个系统(火箭+所排出推进剂)动量的总变化量。

    g代表引力常量,a为重力方向与火箭飞行方向的夹角。排气压力减去气压的差(p-p_0)与排气面积(A)的乘积减去火箭瞬时质量(M)、引力常量(g)、角a的余弦(cosa)这三者的乘积的差便是作用于整个系统的合力。

    系统的动量变化量等于系统冲量等于作用于系统的合力与时间增量的乘积。V_eq代表等效排气速度,我们将V_eq代入求动量变化量的方程,-dM(等于所排出推进剂的质量流率与时间增量的乘积)为火箭瞬时质量的变化量,可知火箭的速度增量等于等效排气速度与火箭瞬时质量变化量和瞬时质量之比之乘积的相反数。

    对方程两边积分可得,火箭的速度增量(Δu)等于等效排气速度(V_eq)与火箭瞬时质量(M;积分极限为从火箭初始质量到最终质量)的自然对数之乘积的相反数。m_e代表火箭耗尽推进剂后的质量(即图1的最终质量m_f),m_f代表火箭在发射台上的总质量(即图1的初始质量m_i),MR代表推进剂质量比即火箭初始质量除以最终质量。最终我们同样得到,火箭的速度增量(Δu)等于等效排气速度(V_eq)与火箭初始质量和最终质量之比(m_f/m_e)的自然对数的乘积。

    此外,火箭的速度增量还等于等效排气速度与推进剂质量比的自然对数的乘积,还等于比冲(I_sp,单位推进剂的量所产生的冲量)、地球表面重力加速度(g_0)、推进剂质量比的自然对数这三者的乘积。

    接下来我们不妨通过实际例子来加深对火箭方程所揭示之关系的理解。倘若我们要将航天器送入近地轨道运行,那么所需达到的速度增量约为9.4km/s(进入近地轨道运行所需的平均轨道速度约为7.8km/s;9.4km/s的数值考虑到了空气阻力与重力损失)。

    假设我们使用一个排气速度为2km/s的典型固体火箭发动机,则所需速度增量与排气速度的比值为4.7,火箭最终质量与初始质量的比值等于自然常数的-4.7次幂即0.009,推进剂质量与初始质量的比值等于0.991,这意味着发射升空时这枚火箭99.1%的质量都必须是推进剂,仅有0.9%的质量可以是结构与载荷!

    而倘若我们使用的是一个排气速度为4.5km/s的液体火箭发动机,那么所需速度增量与排气速度的比值为2.09,火箭最终质量与初始质量的比值等于自然常数的-2.09次幂即0.12,推进剂质量与初始质量的比值等于0.88,即这枚火箭的初始质量中只有88%需要用于推进剂,足有12%可以用于结构与载荷。

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