我们在小时候学代数时，学到最基础的公式可以说是交换律、结合律了，公式表示为如下图
其中字母的表示称为代数群（或群簇），是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。这个名称是由一名未满20岁的法国少年首先提出的，这会数学天才就是埃瓦里斯特·伽罗瓦。
伽罗瓦15岁的肖像
他出生于一个支持革命的知识分子家庭中。他的祖父是皇后堡的城市学校的校长，父亲则是皇后堡的市长。
他成长在波旁王朝复辟时期，随着拿破仑战争的失败，反法同盟将波旁王室的路易十八扶植为法国国王。
《王室与联盟关注欧洲之快乐》
伽罗瓦从小就表示出他的天赋，11岁的伽罗瓦进入路易皇家中学就读，前两年保持了很好的成绩，拉丁语还得了一等奖。14岁的时候开始跟随 Vernier 老师学习数学，并疯狂地爱上了数学，并成为校方眼中「奇特、怪异、有原创力又封闭」学生。
路易皇家中学
1829年伽罗瓦通过考试进入法国著名大学巴黎高等师范学校，现成为基础数学研究者的圣地，并在1829年12月29日获得了学位。他的数学考官曾说「这个孩子在表达他的想法时有些困难，但是他十分聪明，并体现出了非凡的学术精神」。
伽罗瓦在校研究期间，暴法了法国七月革命，保皇势力出亡国外。但校长将学生锁在高墙内，本想参加革命的伽罗瓦被校方阻止了，这让积极参与政治活动的他强烈不满，在校报上抨击校长的作法而被驱逐学校。
欧仁·德拉克罗瓦的《自由引导人民》
退学后，伽利瓦加入了坚定共和的国民自卫军的炮兵部队。但不久后炮兵部队被解散，并有19名军官被指控阴谋推翻政府而入狱。在之后这些军官无罪释放的庆祝宴会上，伽罗瓦提议向新国王路易·菲利普敬酒，他的杯子上面有一把匕首，这被解释为对国王的不敬。他于次日被捕，但于1831年6月15日被无罪释放。
然后在国庆节（巴士底日），伽罗瓦穿着被解散的大炮部队制服参加抗议活动，并带着几把手枪，一支步枪和一把匕首全副武装而再次被捕，被判入狱六个月。在狱中的他还继续研究他的数学问题。
巴士底狱
然而，在他20岁的那年，这一切一切都将结束。1832年5月30日的上午，他在被击中腹部，被路过的农夫救起，于次日十点钟正式死亡。他生前最后一句话是对他弟弟弟弟阿尔弗雷德说的，“别哭，阿尔弗雷德！我需要所有的勇气才能在二十岁时死去！“
这次的致命决斗原因在他死前五天用书信已经透露了给好友知道，封信显然暗示了一段破碎的恋情。对原始信件进行的一些档案调查表明，这位“风骚”的女子应该是宿舍医生的女儿。也正是她挑起了，在信中显示伽罗瓦自己也知道这是一场精心策划的骗局。这很可能是保皇党人消灭政治敌人一场阴谋。
至于他的决斗对手，那位“假未婚夫”可能是之前被捕的19名炮兵部队军官之一亚历山大·杜马斯；也有可能是与他在狱中发生过冲突的党友欧内斯特。但凶手的真实身份可以已经消失在历史之中。
伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，整套想法现称为伽罗瓦理论，是当代代数与数论的基本支柱之一。它直接推论的结果十分丰富：
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