数据结构之图的Dijkstra算法

Dijkstra算法

1. 定义概览
   Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
   问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2. 算法描述

1. 算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2. 算法步骤：
   a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
   b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
   c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
   d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

/***  递归
**graph：存储图信息的内存地址，图已排好序
**dist：图中每个点到S点的距离，初始都为0
**v[]：图中每个点是否访问过的标志
**vn:当前访问的节点ID
**uNum：图中剩余没访问点数，为0则程序结束。
***/
void dijkstra(graph_t *graph, int dist[], int v[],  int vn, int uNum)
 {
      if(uNum <= 0){
          return;
      }
      printf("%d--%d\n",vn, uNum);
      int flag = 1, vt = 0;
      gnode_t *p = graph->relation[vn].next; /* 与VN相连接的点 */
 
      if(p == NULL){
          return ;
      }
      v[vn] = 1;
 
      while(p != NULL){ /* 访问所有与VN相连接的点 */
          if(flag && !v[p->data]){  /* 与vn相连的未被访问过的最近(越靠前越近)的点，用作往下递归的起点 */
                  vt = p->data;
                  flag = 0;
          }
          if(0 == dist[p->data] || dist[p->data] > dist[vn] + p->weight){ /* 无向图，p->weight为权重 */
              dist[p->data] = dist[vn] + p->weight;
          }
          printf("     %d -- %d\n",p->data, dist[p->data]);
          p = p->next;
      }
 
      dijkstra(graph, dist, v, vt, --uNum);
  }