美文网首页
MIT 线性代数 2.矩阵消元

MIT 线性代数 2.矩阵消元

作者: 光能蜗牛 | 来源:发表于2022-05-18 14:51 被阅读0次

消元和回代

假设方程组
x+2y+z=2
3x+8y+z=12
4y+z=2
写成下面的增广矩阵，并开始消元
\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 2\\ \end{array}\right] \rightarrow^{(2,1)}\rightarrow \left[\begin{array}{ccc:c} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&4&1&2 \end{array}\right] \rightarrow^{(3,2)}\rightarrow \left[\begin{array}{ccc:c} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&0&5&-10\\ \end{array}\right]
上面(2,1)表示第2行第1列,(这里是第2行减去了3倍的行1,未详细标出)
上面(3,2)表示第3行第2列,(这里是第3行减去了2倍的行2,未详细标出)

我们把最后的消元结果
\left[\begin{array}{ccc:c} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&0&5&-10\\ \end{array}\right]
重新写成方程组，即
x+2y+z=2
2y-2z=6
5z=-10
可以看到，整个时候要解方程就非常easy了，直接从z开始解，从下往上以此解得z=-2,y=1,x=2
这样的过程叫回代

引入矩阵消元

前面说到方程组的列图像的时候
假设有一个矩阵乘法AX
如下
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2\\ 3 & 8\\ \end{array}\right] \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}
则这个乘法可以看成

\left[\begin{array}{cccc} 1 \\ 3 \\ \end{array}\right] .x+ \left[\begin{array}{cccc} 2 \\ 8 \\ \end{array}\right] .y
即看成列向量 \left[\begin{array}{cccc} 1 \\ 3 \\ \end{array}\right]和\left[\begin{array}{cccc} 2 \\ 8 \\ \end{array}\right]的线性组合

那么如果我们反过来写成
XA呢
比如这么写
\begin{bmatrix} x&y \end{bmatrix} \left[\begin{array}{cccc} 1 & 2\\ 3 & 8\\ \end{array}\right]
此时乘法可以看成是
\left[\begin{array}{cccc} 1 &2 \end{array}\right] .x+ \left[\begin{array}{cccc} 3& 8 \end{array}\right] .y
即看成是行向量\left[\begin{array}{cccc} 1 &2 \end{array}\right] 和\left[\begin{array}{cccc} 3 &8 \end{array}\right]的线性组合
好，有了这个基础知识

我们往会看前面的矩阵消元过程
\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 2\\ \end{array}\right] \rightarrow^{(2,1)}\rightarrow \left[\begin{array}{ccc:c} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&4&1&2 \end{array}\right] \rightarrow^{(3,2)}\rightarrow \left[\begin{array}{ccc:c} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&0&5&-10\\ \end{array}\right]

如果我要从 A=\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 2\\ \end{array}\right]到达 B=\left[\begin{array}{ccc:c} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&4&1&2 \end{array}\right]
如果想用矩阵表达这个过程应该如何做呢，
首先我们知道要实现上述矩阵变换只需要将初始的矩阵的第2行减去3倍的行1，
上诉描述我们其实可以看到这里面只涉及了行之间的线性组合，这不正好就是矩阵的左乘形式么，即XA=B的形式。
首先，A的行向量有三个
a1=\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 2 & 1 & 2\\ \end{array}\right]
a2=\left[\begin{array}{ccc:c} 3 & 8 & 1 & 12\\ \end{array}\right]
a3=\left[\begin{array}{ccc:c} 0 & 4 & 1 & 2\\ \end{array}\right]
我们将上面的矩阵B的每一行依次看
b1=\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 2 & 1 & 2\\ \end{array}\right]
b2=\left[\begin{array}{ccc:c} 0 & 2 & -2 & 6\\ \end{array}\right]
b3=\left[\begin{array}{ccc:c} 0 & 4 & 1 & 2\\ \end{array}\right]
因为B矩阵中任意一行的行向量都是A矩阵中的行向量的线性组合
观察这些行向量之间的关系，我们很容易得出
1*a1+0*a2+0*a3=b1
-3*a1+1*a2+0*a3=b2
0*a1+0*a2+1*a3=b3
写成矩阵的形式即

\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc:c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc:c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array}\right]
即
XA=B,其中X=\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right]
为我们要求的消元矩阵,因为这里是对第2行第1列的操作，我们这里把将X记成E_{21}
这里我们将上面的消元过程重新抄写一下,并用E_{21}和E_{32}去替换
\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 2\\ \end{array}\right] \rightarrow^{E_{21}}\rightarrow \left[\begin{array}{ccc:c} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&4&1&2 \end{array}\right] \rightarrow^{E_{32}}\rightarrow \left[\begin{array}{ccc:c} 1&2&1&2\\ 0&2&-2&6\\ 0&0&5&-10\\ \end{array}\right]
我们已经知道了E_{21}
而E_{32}也可以用上面的方法进行计算，这里直接贴答案
E_{32}=\left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-2&1\\ \end{array}\right]

于是整个过程写成
E_{32}E_{21}A=U（U表示上三角阶梯型矩阵）
也就是说，矩阵消元可以用一系列矩阵的左乘来达到目的，这也是矩阵左乘代表了行变换的本质

置换矩阵

置换矩阵形如X=\left[\begin{array}{ccc} 0&1\\ 1&0\\ \end{array}\right]
假设有矩阵A=\left[\begin{array}{ccc} a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]
有XA=\left[\begin{array}{ccc} 0&1\\ 1&0\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} a&b\\ c&d\\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} c&d\\ a&b\\ \end{array}\right]这实现了对矩阵的行的交换

有AX= \left[\begin{array}{ccc} a&b\\ c&d\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 0&1\\ 1&0\\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} b&a\\ d&c\\ \end{array}\right]这实现了对矩阵的列的交换

逆矩阵

E_{21}=\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right]
E_{21}^{-1}E_{21}=\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right]

相关文章

网友评论

      本文标题：MIT 线性代数 2.矩阵消元

      本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/nvstsrtx.html

      延伸阅读

      深度阅读

      • 您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

      栏目导航

      热点阅读

      关于我们|服务条款|联系我们|MIT 线性代数 2.矩阵消元|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

      提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

      Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网 版权所有

      备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

      本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

      所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！