第二讲 —— 矩阵消元
- 消元（Elimination）
- 回代（Back-Substitution）
- 用矩阵语言描述消元法（Elimination matrices），对应课程的核心“矩阵变换”
1. 消元法
有方程组：，写成矩阵形式
。第一步如何做？第一个方程成立，用该方程乘某个数，然后从第二个方程中将其减去。目的是消去方程二中的
，即消元。
将矩阵左上角的1称为“主元一”（1st pivot），第一行不变，因为它是主元行，消元乘数为3，得到消元后的方程，按顺序消元，第一步完成。严格来说，这里消元的位置是
位置，行二列一，
位置从而得到0，因此用
作为这一步的代号。
下一步是什么？是将第一列最下的元素也变成0，因此下一步的代号为，行三列一，因为已经为0，因此消元乘数为0。
下面考虑“主元二”，第二行第二列的元素2为主元二，这里希望消掉位置，步骤代号
，消元乘数为2，得到
，右下角的5为“主元三”。
消元的目的是从到
（另：主元不能为0）
讨论消元失效的情况，失效指不能得到三个主元。假设矩阵左上角的元素一开始就为0，需要进行“行交换”，在下面的方程中找到合适的主元。假设矩阵
右下角元素为-4，那将得到
，主元三将不存在，矩阵因此不可逆，消元确定失效。
“行交换”可以解决主元为0的“暂时性失效”，但当底下的行中再也没有非0元素时，消元彻底失效。
2. 回代
引入右侧向量作为新的一列，，称为“增广矩阵（augmented matrix）”。可以想象，对方程进行消元时，右侧向量也会同步变化。
即 ——>
——>
。将最终得到的右侧向量记为
，
是
的最终结果，就像
对应
一样。
把结果写成方程，即为，这就是矩阵
和
的方程含义，最终得到解
。
3. 消元矩阵
分别用行和列进行矩阵操作，是线性代数的核心内容。
步骤的矩阵语言描述：
，
称为初等矩阵，记为
，记录下标
，表示是在位置
上的变换。
步骤的矩阵语言描述：
，
为初等矩阵
。
综合表示，即为。也可写成(
，通过
计算可以得到一次性解决问题的矩阵。增减括号是矩阵乘法的一项性质，对任意矩阵乘法都适用，即“结合律”（associative law）。注意矩阵运算不符合“交换律”。
另： 是单位矩阵（identity matrix），矩阵与单位矩阵相乘等于本身。
4. 置换矩阵
，矩阵
记为
，代表置换（permutation）
。
行变换时矩阵左乘，列变换时矩阵右乘。
5. 逆矩阵
如果原矩阵为，单位矩阵为
，
的逆矩阵记为
，此处
。
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