随机变量之和的概率分布：卷积定理的简单应用

作者: 虚胖一场 | 来源:发表于2020-04-21 16:48 被阅读0次

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我们在《一个最大化条件概率问题》一文中提到，为了满足商品采购业务的需要，我们首先预测每一天的需求所服从的概率分布，然后计算若干天总需求所服从的概率分布。那么，如何将日需求的分布转化为总需求的分布呢？

方法

考虑一组独立的随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，令
$S_n=\sum_{i=1}^{n} X_i$
则
$S_n = S_{n-1} + X_n$
也就是说，多个随机变量的和总可以还原回两个随机变量的和的情况。因此，我们只需要知道如何计算两个随机变量的和的分布就可以了。

假设 $X$ 和 $Y$ 是两个独立的随机变量，令 $Z=X+Y$ 。

若 $X$ 和 $Y$ 是离散型随机变量，则 $Z$ 的概率质量函数为 $X$ 的概率质量函数与 $Y$ 的概率质量函数的离散卷积：
$P(Z=z) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}P(X=k)\cdot P(Y=z-k)$
若 $X$ 和 $Y$ 是连续型随机变量，则 $Z$ 的概率密度函数为 $X$ 的概率密度函数与 $Y$ 的概率密度函数的卷积：
$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm dx\equiv f_X*f_Y$

卷积怎么算呢？根据定义直接算，可以，但没必要。复习一下卷积定理：

函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。

对于离散型随机变量，我们只需要用 FFT 算法计算 $X$ 和 $Y$ 的概率质量函数的离散傅里叶变换，然后作乘积，再作一次逆变换，即可求得 $Z$ 的概率质量函数。对于连续型随机变量，则可以先离散化，然后用上述方法近似求解 $Z$ 的概率密度函数。

作为调包工程师，我们直接调用 scipy.signal.fftconvolve 实现来上述操作。

例子

我们来验证一下。

假设 $X\sim N(30, 10^2)$ ， $Y\sim N(60, 5^2)$ ，则 $Z\sim N(90, 10^2+5^2)$ 。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
from scipy.signal import fftconvolve

x = norm.pdf(np.arange(100), loc=30, scale=10)
y = norm.pdf(np.arange(100), loc=60, scale=5)
z = norm.pdf(np.arange(200), loc=90, scale=np.sqrt(125))
z_tilde = fftconvolve(x, y)

plt.subplot(121)
plt.plot(x, color='b', label='pdf of X')
plt.plot(y, color='g', label='pdf of Y')
plt.legend()
plt.subplot(122)
plt.plot(z, color='r', label='analytical pdf of Z')
plt.plot(z_tilde, color='y', label='numerical pdf of Z')
plt.legend()
plt.show()

正态分布之和

再看一个例子。

考虑一组独立的随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ ，满足 $X_i\sim Bernoulli(0.3)$ ，即每个 $X_i$ 均服从成功概率 $p=0.3$ 的伯努利分布。令 $Z=X_1+X_2+\cdots+X_{100}$ ，即 $Z$ 是 100 次独立重复试验中成功的次数。根据定义， $Z$ 服从二项分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
from scipy.signal import fftconvolve
from functools import reduce

xs = [[0.7, 0.3] for _ in range(100)]
z = binom.pmf(np.arange(100), n=100, p=0.3)
z_tilde = reduce(fftconvolve, xs)

plt.plot(z, label='analytical pmf of Z')
plt.plot(z_tilde, label='numerical pmf of Z')
plt.legend()
plt.show()

伯努利分布之和

最后看看实际计算总需求时的效果：

从日需求到总需求

附录

附上卷积定理的简单推导：

考虑函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ ，以及它们的卷积 $h=f*g$ 。 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅里叶变换分别为
$\hat f(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-i\omega t}\mathrm dt$
$\hat g(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(t)\mathrm e^{-i\omega t}\mathrm dt$
而 $h(t)$ 的傅里叶变换为
$\begin{aligned} \hat h(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\mathrm e^{-i\omega t}\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau\right]\mathrm e^{-i\omega t}\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)e^{-i\omega t}\mathrm dt\mathrm d\tau \end{aligned}$
令 $s=t-\tau$ ，则 $\mathrm ds = \mathrm dt$ ，
$\begin{aligned} \hat h(\omega) & = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(s)e^{-i\omega (\tau+s)}\mathrm ds\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau}\mathrm d\tau\int_{-\infty}^{+\infty}g(s)e^{-i\omega s}\mathrm ds\\ &=\hat f(\omega)\cdot\hat g(\omega) \end{aligned}$