高中排列组合

分类用加法
分步用乘法

排列：从 n 个不同的元素中选取 m 个元素进行排列，记作 A_n^m，其中(m<=n)
组合：从 n 个不同的元素中选取 m 个元素作为一组，记作 C_n^m，其中(m<=n)

排列是有顺序的，组合是无顺序的

A_n^m = n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
A_n^m = n! / (n-m)!
A_nⁿ = n!

A₆³ = 6 * 5 * 4 = 120
A₆⁶ = 6!

A_n^m = C_n^m * A_m^m，排列可以看做第一步从 n 个选 m 个，第二部将选出的 m 个进行全排列
C_n^m = A_n^m / A_m^m
C_n^m = n! / (n-m)!m!
C_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) / m!

C₆³ = 6 * 5 * 4 / 3! = 120 / 6 = 20

C_n^m = C_n^n-m
C₇⁵ = C₇² = 7*6 / 2! = 21

规定 C_n⁰ = 1
C₅⁰ = 1
C₅⁵ = 1
C₅¹ = 5

利用组合来求二次项通式：
(a+b)ⁿ = (a+b)(a+b)...(a+b)，一共 n 组 (a+b)，a^n-2b² 意味着从 n 组里面选两组b，剩余都是a，因此它的系数就是 C_n²
二次项定理：(a+b)ⁿ = C_n⁰ aⁿ + C_n¹ a^n-1b + C_n² a^n-2b² + ... + C_nⁿ bⁿ
二次项通项：T_k+1 = C_n^k a^n-kb^k (k=0, 1, ... ,n)
二次项系数：C_n^k
项数：一共有 n+1 项，k = 0 时代表第一项 T₁，k = n 时代表最后一项 T_n+1

二项式系数的单调性

当 n 为奇数时，中间两项相等，且为最大值
m=(n+1)/2, p=(n-1)/2
C_n^k 的最大值为 C_n^m = C_n^p
C₇^k 的最大值为 C₇³ 和 C₇⁴

当 n 为偶数时，中间项最大
k=n/2，时 C_n^k 最大
C₆^k 的最大值为 C₆³

二项式系数之和

(1+x)ⁿ = C_n⁰ + C_n¹x + C_n²x² + ... + C_nⁿxⁿ
令 x = 1，则有 2ⁿ = C_n⁰ + C_n¹ + C_n² + ... + C_nⁿ